در واقع باید داشته باشیم $0 \notin S$ تا قضیه برقرار باشد
از اینکه $ $ یک $ $ است نتیجه میگیریم که $ $ یک قلمرو صحیح است پس با توجه به نکته اثبات شده در سوال $ R$ یک حلقه ی $ UFD $ است اگر وتنها اگر هر ایده آل اول $p $ که $ht \ p \leq 1 $ یک ایده آل اصلی باشد.
کافیست ثابت کنیم که هر ایده آل با هایت $1$ یک ایده آل اصلی است.
فرض کنید که $ q $ یک ایده آل اول در $ S^{-1} R $ باشد که $ ht(q)=1$ پس ایده آل اولی مانند $ P$ در $R $ وجود دارد که $P \cap S= \emptyset $ و $S^{-1} P=q $ و از آنجایی که موضعی سازی(لوکالیزیشن) هایت را تغییر نمی دهد پس $ ht(P)=1 $ پس طبق اینکه
$ R$ یک $ UFD $ است داریم $P= < x >=xR $ پس
$$q=S^{-1} P=S^{-1}< x >=< \frac{x}{1} > $$
یا
$$q=S^{-1} P=PS^{-1}R=xR S^{-1}R=xS^{-1}R$$
و لذا حکم ثابت شد.
برای $ $ هم حکم برقرار است.
فرض کنید $I $ایده آلی در $S^{-1}R $ باشد لذا ایده آلی از $ R$ مانند
$J $ موجود است که $J=R \cap I $ از آنجایی که $ R $ حلقه $ PID $ است لذا $J=(x) =xR $ پس:
$$I=(R \cap I)S^{-1}R=xRS^{-1}R=xS^{-1}R$$
وحکم ثابت شد.
