برای تابع پیوسته $f$با شرط $ f(2x^2-1)=2xf(x) $ داریم $ f(x)=0 $ برای هر $ -1\leq x\leq 1 $

Question

فرض کنید $ f$ یک تابع پیوسته باشد به طوریکه برای هر $ x $ داشته باشیم $ f(2x^2-1)=2xf(x) $ . نشان دهید که $ f(x)=0 $ برای هر $ -1\leq x\leq 1 $ .

Answer 1

اگر $ 0 < x < \frac{1}{2} $ باشد آنگاه $ -1< u= (2x^{2} -1) <- \frac{1}{2} $با توجه به رابطه یعنی $f(2x^{2} -1)=2xf(x) $ و مثبت بودن $ x $ داریم $ f(x)$ با $ f(2x^{2} -1) $ هم علامت است. حال برای $ -1< x < - \frac{1}{2} $ داریم $ - \frac{1}{2} < u= (2x^{2} -1) < 1 $و با توجه به منفی بودن$ x $ داریم $ f(x)$ با $ f(2x^{2} -1) $مختلف العلامت است. و لذا باید برای بازه ی$ 0 < x < \frac{1}{2} $ مقدار $ f(x)$ برابر صفر باشد.

حال یک بار در رابطه اصلی $ x $ و یک بار $- x $ قرار می دهیم و با توجه به زوج بودن $2x^{2} -1 $ و مقایسه دو رابطه داریم $ f(-x) =- f(x)$ یعنی علامت در بازه $ - \frac{1}{2} < x < 0 $ مخالف علامت در بازه $ 0 < x < \frac{1}{2} $ است ولی در این بازه تابع صفر بود لذا در بازه ی $ - \frac{1}{2} < x < 0 $ نیز تابع صفر است بطور مشابه در کل بازه مقدار تابع صفر است.

Comments

این سواله قشنگی بود انصافا.

Answer 2

از آنجایی که $ -1 \leq x \leq 1 $ پس به راحتی می توان نشان داد که
$$-1 \leq 2 x^{2}-1 \leq 1 $$

لذا می توان در معادله بجای $ x $ عبارت $ 2 x^{2}-1 $ را قرارداد و بلعکس، به عبارت دیگر $$ x \Longleftrightarrow 2 x^{2}-1$$

لذا داریم $$f(x) = 2(2 x^{2}-1) f(2 x^{2}-1) = 4 x^{2}f(2 x^{2}-1)-2f(2 x^{2}-1) $$

حال دوباره از معادله اولیه استفاده کرده و داریم $$ f(x) = 4 x^{2}[2xf(x)] - 2 [2xf(x)] $$ $$ \Rightarrow f(x) = 8 x^{3}f(x)-4xf(x) $$

یعنی $$f(x)[8 x^{3}-4x-1]=0 $$

پس تابع $f $ در همه جا بجز احتمالا در سه نقطه برابر صفر است . اما از آنجا که $ f $ پیوسته است پس طبق قضیه ای ابتدایی از آنالیز ریاضی باید تابع در آن سه نقطه هم صفر شود . پس برای $ -1 \leq x \leq 1 $ تابع برابر صفر می شود.