ابتدا ثابت میکنیم که این مجموعه $ \frac{M}{mM} $ را تولید میکند هر عنصر دلخواه در $ \frac{M}{mM} $ به صورت $x+ mM $ است که در آن $x \in M $ و از آنجایی که $M= < x_{1} ,..., x_{t} > $ پس داریم $m=r_{1} x_{1}+...+ r_{t} x_{t} $ یعنی:
$$ x+ mM=x+ mM=r_{1} x_{1}+...+ r_{t} x_{t}
+mM=(r_{1}+m) (x_{1}+mM)+...+ (r_{t}+m) ( x_{t}+mM) $$
حال باید ثابت کنیم که این مجموعه مستقل خطی است فرض کنید که مستقل خطی نباشد لذا زیر مجموعه ای سره از آن وجود دارد که پایه است بدون کاستن از کلیت می توان فرض کرد $ x_{1}+mM ,..., x_{s} +mM $ که در آن $ s < t $ است پایه باشد. نشان میدهیم که $ M= < x_{1} ,..., x_{s} > $ که این با فرض مینیمال بودن $x_{1} ,..., x_{t} $ در تناقض است.
قرار می دهیم $N= \sum_{i=1}^s R x_{i} $ و از آنجایی که $ x_{1}+mM ,..., x_{s} +mM $ یک پایه است و $ \frac{M}{mM} $ را تولید میکند داریم $ M=N+mM $ که طبق لم ناکایاما $ N=N $ پس $ M= < x_{1} ,..., x_{s} > $ که تناقض است.
