قرار می دهیم $M= \coprod_{i=1}^ \infty Z _{{p} _{i}} $ و $ N_{i} = Z _{{p} _{i}} $ که در آن
$ {p} _{i}$ اعداد اول هستند.در اینصورت
$$Hom(M,\coprod_{i=1}^ \infty N_{i} ) =Hom(M,\coprod_{i=1}^ \infty Z _{{p} _{i}} ) $$ به عنوان گروه آبلی دوری نیست و عناصری از مرتبه ی نامتناهی دارد ($(a_{1}, a_{2} , a_{3}, .. ,a_{4} ,..) \mapsto (0,a_{1}, a_{2} , a_{3}, .. ,a_{4} ,..) $)
همچنین $Hom(M, N_{i} )=Hom(M, Z _{{p} _{i}} ) $ ها دوری هستند( چون
$$Hom(M, Z _{{p} _{j}} ) =Hom( \coprod_{i=1}^ \infty Z _{{p} _{i}} , Z _{{p} _{j}} ) \cong \prod Hom( Z _{{p} _{i}} , Z _{{p} _{j}} ) $$
و
$ Hom( Z _{{p} _{i}} , Z _{{p} _{j}} ) \cong Z _{d} $
که در آن $d= gcd({p} _{i},{p} _{j})$ و اگر $ i \neq j $ آنگاه $1= gcd({p} _{i},{p} _{j}) $
) و مرتبه ی هر عنصر در آن متناهی است لذا از لحاظ گروهی $Hom(M,\coprod_{i=1}^ \infty N_{i} )$ و
$ \coprod_{i=1}^ \infty Hom(M, N_{i} ) $ یکریخت نیستند.
هر گروه آبلی را می توان به عنوان $Z $مدول در نظر گرفت و یکریختی گروهی هم معادل با یکریختی مدولی خواهد بود پس $ Hom(M,\coprod_{i=1}^ \infty N_{i} ) $ با $ \coprod_{i=1}^ \infty Hom(M, N_{i} ) $ یکریخت نیستند.
$f((a_{1}, a_{2} , a_{3}, .. ,a_{4} ,..)) =(0,a_{1}, a_{2} , a_{3}, .. ,a_{4} ,..) $ به وضوح عضوی از $Hom(\coprod_{i=1}^ \infty Z _{{p} _{i}},\coprod_{i=1}^ \infty Z _{{p} _{i}} ) $ است نشان میدهیم مرتبه ی این عضو متناهی نیست فرض کنید متناهی باشد و فرض برابر $ n $ باشد یعنی $nf=0$به ازای هر عضو از دامنه اما اگر عنصری را در نظر بگیریم که تمام درایه های آن صفر اما درایه ی واقع در جایگاه $m$ که $m > n$ برابر $1$ باشد آنگاه این عنصر در دامنه قرار دارد و مخالف صفر است و
$nf((0, .. ,1 ,..)) =f((0, .. ,n ,..)) $ که $n $ در $Z _{{p} _{m}} $ مخالف صفر است و حاصل هم در $Z _{{p} _{m+1}} $ می افتد که مخالف صفر است.
