مثال نقض برای قضیه نگاشت باز

Question

دو فضای نرمدار $(X, \| . \| _1)$ و $(X, | . | _2)$ و یک نگاشت پوشای $T \in L(X,Y)$ بیابید که $T$باز نباشد.

Comments

دو فضای نرمدار که نوشتین یکی هستن که!

---

ببخشید ویرایش کردم

Answer 1

در کتاب آنالیز حقیقی فولند در تمرینات فصل پنجم همچین مثالی آورده شده:

فرض کنید $X,Y$ فضاهایی باناخ و $S:X\to Y$ یک نگاشت خطی غیرکراندار باشد. و $\Gamma(S)=\{(x,Tx):x\in X\}$ گراف $S$ زیر فضایی از $X\times Y$ است. در اینصورت بنابر قضیه گراف بسته ( Closed Graph Theorem) می دانیم $\Gamma(S)$ کامل نیست. نگاشت $T:X\to\Gamma(S)$ را به صورت $ Tx=(x,Sx) $ تعریف کنید. در اینصورت $T$ بسته است اما کراندار نیست. در اینصورت $T^{-1}:\Gamma(S)\to X$ کراندار و پوشا است اما باز نیست.