تابع f:(X,d_1)\to (Y,d_2) که (X,d_1),(Y,d_2) فضاهای متریک هستند را پیوسته لیپ شیتس با ثابت K گوییم( یا f در شرط لیپ شیتس با ثابت k صدق می کند) هرگاه:
d_2(f(x),f(y))\leq Kd_1(x,y)
برای هر
x,y\in X .
به عنوان مثال f:\mathbb R\to \mathbb R که f(x)=|x| لیپ شیتس با ثابت 1 است( توجه کنید که متر روی \mathbb R همان قدرمطلق در نظر میگیریم.) زیرا بنابر نامساوی مثلثی:
|f(x)-f(y)|=||x|-|y||\leq |x-y|
و یا f(x)=\frac12|x| با استدلال نشابه لیپ شیتس با ثابت \frac 12 است.
اگر f:\mathbb R\to\mathbb R مشتق پذیر با مشتق کراندار باشد یعنی |f'(x)|\leq K برای k ی در اینصورت بنابر قضیه مقدار میانگین:
|f(x)-f(y)|=|f'(c)(y-x)|=|f'(c)||x-y|\leq k|x-y|
پس مثلا f(x)=\sin x چون مشتقپذیر با مشتق کراندار است بنابر استدلال بالا لیپ شیتس است(با ثابت 1 )
به عنوان مثال دیگر f_A:(X,d)\to\mathbb (R,|.|) که برای مجموعه ی\emptyset\neq A\subset X به صورت
f_A(x)=d(x,A)=\inf \big\{d(x,a):a\in A\big\}
تعریف می شود لیپ شیتس با ثابت
1 است.(چرا؟)
