اگر $a_i>0$ آنگاه $\sum_{i\in I} a_i=\infty $ که $I$ناشماراست

Question

اگر $I $ یک مجموعه ناشمارا و $ a_i>0$باشد نشان دهید $\sum_{i\in I}a_i=\infty $ .

Answer 1

کافی است بدانیم که سری های ناشمارا مثل $\sum_{i\in I}a_i$ به صورت زیر تعریف می شود: $$ \sum_{i\in I}a_i=sup \big\{\sum_{i\in J}a_i:J \subset I, J\ motanahi \ ast\big\} $$ یعنی سوپریمم روی تمام جمع های متناهی میگیریم.

اگر قرار دهیم $$ I_n=\big\{i\in I : a_i>\frac 1n\big\} $$ در اینصورت واضح است که $ I=\bigcup_{n=1}^\infty I_n $ .چون $I$ ناشماراست لذا حداقل یکی از $ I_n $ ها ناشمارا است. برای این $ I_n $ ناشمارا و هر زیرمجموعه متناهی $J$ از $I_n$ داریم: $$\sum_{i\in J}a_i> \frac{card(J)}{n}$$ بنابراین با استفاده از این مطلب $\sum_{i\in I}a_i=\infty$(چرا؟)

Comments

لطفا تمام مطالبی که بحث می شود را مرجع دهی کنید تا مطالب بیشتری بیاموزیم.

---

نظر خیلی خوبیه. حق با شماست. مطلب فوق رو در فصل صفر کتاب آنالیز حقیقی Folland میتونید ببینید.