Question

مجموع جملات دنباله فيبوناتچي را بدست آوريد؟ ممنون

Answer 1

فرض کنیم جمله n ام دنباله فیبوناچی $ f_{n} $ است . داریم : $$ \begin{cases}f_{1} = f_{2} = 1 \\f_{n+2} = f_{n} + f_{n+1} & n \geq 1\end{cases} $$ حال فرض کنید: $$ S_{n} = \sum_{k=1}^{n} f_{k}$$ طبق رابطه بازگشتی بالا داریم : $$ f_{k} = f_{k+2} - f_{k+1} $$ با جاگذاری در $S_{n}$ داریم : $$ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}( f_{k+2}- f_{k+1}) $$ و با استفاده از قاعده ادغام (تلسکوپی) بدست می آید : $$ S_{n} = f_{n+2} - f_{2} $$

Answer 2

فکر کنم منظور شما مجموع $n$ جمله ابتدایی دنباله فیبوناتچی باشه. چون مجموع تمام دنباله ها بی نهایت میشه.

دنباله فیبوناتچی به صورت $f_1=1$ و $f_2=1$ و $f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}$ برای $n\geq 3$ به دست می آید.

در اینصورت می توان با استقرا ثابت کرد برای $n\geq 2$: $$\sum_1^n f_k=f_{n+2}-1$$

لطفا با استقرا سعی کنید اثبات کنید و اگه مشکلی داشتید در دیدگاه بهم اطلاع بدید.