فرض کنید که $u \in shad(N) $ و $u \leq_{lex} v $ باید نشان دهیم که $ v \in shad(N) $
از اینکه $u \in shad(N) $ وجود دارد $u ^{'} \in N $ که
$u= u ^{'}x_{k} $اگر $ x_{k} \mid v $ آنگاه $ v= v ^{'}x_{k} $ و $ u ^{'} \leq_{lex} v ^{'} $ پس از اینکه $ u ^{'} \in N$ داریم $v ^{'} \in N $ پس $v \in shad(N) $
پس فرض کنید $ x_{k} \nmid v $
قرار می دهیم $u= \prod_{r=1}^n { x_{r}}^{ a_{r} } $ و $v= \prod_{r=1}^n { x_{r}}^{b_{r} } $ پس طبق آنچه گفته شد $a_{k} > b_{k} $ اما از اینکه $u \leq_{lex} v $ نتیجه می شود $s < k $ وجود دارد که $ a_{1} = b_{1} $ و...و$ a_{s-1} = b_{s-1} $ و$ a_{s} < b_{s} $
حال دو حالت داریم:
1) وجود دارد $j > s $ که $ b_{j} \neq 0 $ مخالف صفر و قرار میدهیم $ v= v ^{'}x_{j}$
در اینصورت $ u ^{'} \leq_{lex} v ^{'} $ و $ u ^{'} \in N $و چون $ N $ یک $ lexsegment $ است لذا $ v ^{'} \in N $ پس $ v \in shad(N) $ و در این حالت حکم برقرار است.
2) فرض کنید به ازای هر $j > s $ داریم $ b_{j} = 0 $ پس اگر قرار دهیم $v= v ^{'}x_{s} $ آنگاه $ u ^{'} \leq_{lex} v ^{'}$ پس بطور مشابه بالا $ v \in shad(N) $ و حکم ثابت شد.
