به کمک تعریف حد ثابت کنید که:

Question

حدهای زیر را به کمک تعریف حد بیابید؟

الف:$ \lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{ x^{2} -3x+3}=1 $

ب:$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+1}{x^{2}+1} =1 $

Answer 1

اثبات الف)

فرض کنید که $ \epsilon $ داده شده باشد باید $ \delta $ مناسبی پیدا کنیم که اگر $ \mid x-1 \mid < \delta $ آنگاه $ \mid \sqrt{ x^{2} -3x+3} -1 \mid < \epsilon $

پس ابتدا باید روی $ \mid \sqrt{ x^{2} -3x+3} -1 \mid < \epsilon $ کار کنیم تا رابطه ای برای $ \delta $ بیابیم.پس باید کاری کنیم که در آن $ \mid x-1 \mid $ ظاهر شود.

ابتدا صورت و مخرج را در مزدوج عبارت ضرب می کنیم داریم:

$$ \sqrt{ x^{2} -3x+3} -1=\sqrt{ x^{2} -3x+3} -1 \times \frac{\sqrt{ x^{2} -3x+3} +1}{\sqrt{ x^{2} -3x+3} +1}= $$ $$ \frac{ x^{2} -3x+3-1}{\sqrt{ x^{2} -3x+3} +1}= \frac{ x^{2} -3x+2}{\sqrt{ x^{2} -3x+3} +1}$$

اما اولا به کمک مشتق ثابت می شود که $ x^{2} -3x+3 \geq \frac{3}{4} $ پس $\sqrt{ x^{2} -3x+3} \geq \sqrt{\frac{3}{4}} $ پس $\sqrt{ x^{2} -3x+3}+1 \geq \sqrt{\frac{3}{4}} +1 $ اگر قرار دهیم $a= \sqrt{\frac{3}{4}} +1$ داریم $ \frac{1}{\sqrt{ x^{2} -3x+3}+1 }\leq \frac{1}{a} $

حال این رابطه را جایگذاری میکنیم داریم:

$$ \mid \sqrt{ x^{2} -3x+3} -1 \mid = \mid \frac{ x^{2} -3x+2}{\sqrt{ x^{2} -3x+3} +1} \mid \leq \mid \frac{x^{2} -3x+2}{a} \mid $$

حال صورت برابر است با $ x^{2} -3x+2=(x-1)(x-2) $ اگر بتوانیم $ (x-2) $ را از بین ببریم کار تمام است پس ابتدا در $ \mid x-1 \mid < \delta $ قرار می دهیم $ \delta =1$ پس $ \mid x-1 \mid <1$ یا $$-1 < x-1 < 1 \Rightarrow -2 < x-2 < 0 \Rightarrow \mid x-2 \mid <2$$ حال این رابطه را جایگذاری میکنیم پس $$\mid \sqrt{ x^{2} -3x+3} -1 \mid \leq \mid \frac{x^{2} -3x+2}{a} \mid= $$ $$ \mid \frac{(x-1)(x-2)}{a} \mid \leq \frac{\mid x-1 \mid2}{a} < \frac{2 \delta }{a} $$

حال طبق آنچه گفته شد باید $ \delta $ را طوری انتخاب کنیم که عبارت بالا از $ \epsilon $ کمتر شود یعنی $ \frac{2 \delta }{a} < \epsilon \Rightarrow \delta < \frac{ a \epsilon }{2} $

اما یکبار شرط $ \delta =1$ را بکار برده ایم پس باید هر دو شرط برقرار باشد یعنی: $$ \delta < min \{1, \frac{ a \epsilon }{2} \} $$

Answer 2

اثبات ب)

فرض کنید $ \epsilon $ داده شده باشد باید برای این $ \epsilon $ یک $ \delta $ ای را بیابیم که اگر $\mid x-1 \mid < \delta $ آنگاه $ \mid \frac{x+1}{ x^{2} +1}-1 \mid < \epsilon $

$$ \mid \frac{x+1}{ x^{2} +1}-1 \mid = \mid \frac{x- x^{2}}{ x^{2} +1} \mid=\mid \frac{x(1- x)}{ x^{2} +1} \mid $$

پس باید $x $ و $ \frac{1}{x^{2} +1} $ را حذف کنیم(کرانی براشون پیدا کنیم) تا فقط $ \mid x-1 \mid $ باقی بماند

اما $$x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2}+1 \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{x^{2} +1} \leq 1$$

در $ \mid x-1 \mid < \delta $ قرار می دهیم $ \delta =1$ پس $ \mid x-1 \mid <1$ یا $$-1 < x-1 < 1 \Rightarrow 0 < x < 2 \Rightarrow \mid x \mid <2$$

خال دو رابطه را جایگذاری می کنیم:

$$ \mid \frac{x+1}{ x^{2} +1}-1 \mid =\mid \frac{x(1- x)}{ x^{2} +1} \mid < \mid \frac{2(1- x)}{ 1} \mid$$ پس کافیه $2 \delta < \epsilon $ یا $ \delta < \frac{ \epsilon }{2} $

اما یکبار شرط $ \delta =1$ را بکار برده ایم پس باید هر دو شرط برقرار باشد یعنی: $$ \delta < min \{1, \frac{ \epsilon }{2} \} $$