نشان دهید که اگر ...

Question

ثابت کنید اگر $ \lim_{x \rightarrow \propto } f(x)=+ \propto $ و $x_0 \epsilon R$ای موجود باشد بطوری که به ازای هر $x \geq x_0$ , $g(x) \geq f(x)$ , آنگاه $ \lim_{x \rightarrow \propto }g(x)=+ \propto$

Answer 1

ابتدا تعریف حد بینهایت در بینهایت را می نویسیم: به ازای هر $ M > 0 $، عدد $ N > 0 $ چنان وجود دارد که اگر $ x > N $ آنگاه $f(x) > M $ است.

حال فرض کنید که $M > 0 $ داده شده باشد باید $ N > 0 $ مناسب رابیابیم و نشان دهیم که اگر $ x > N $ آنگاه $g(x) > M $ است

اگر در تعریف حد برای $f$ این $M > 0 $ را به کار ببریم یک $ N _{1} > 0 $ وجود دارد که اگر $ x > N _{1} $ آنگاه $f(x) > M $ است.

حال کافیست قرار دهیم $ N > max\{N _{1} , x _{0} \}$ آنگاه اگر $ x > N$ آنگاه $ x >N _{1}$ پس $ f(x) > M $ و همچنین $ x > x _{0}$ پس $g(x) > f(x) $ یعنی(با ترکیب دو رابطه) $ g(x) > M $ و حکم ثابت شد.