ابتدا تعریف سیگما جبر را یادآوری می کنیم:
تعریف: فرض کنید $ X $ یک مجموعه غیرتهی باشد. منظور از یک $ \sigma $-جبر روی
$ X $ یک گردایه غیرتهی $ \mathcal{A}\subset P(X)$ ( که $P(X) $ مجموعه توانی
$ X$ است) است که تحت اجتماع شمارا و متمم بسته باشد یعنی:
- اگر $ \{ E_i\}_{i=1}^\infty $ گردایه ای از مجموعه های واقع در $ \mathcal{A} $ باشد ( یعنی برای هر
$ i $ داشته باشیم: $ E_i\in\mathcal{A} $ ) آنگاه $ \bigcup_{i=1}^\infty E_i \in A $ .
- اگر $E\in \mathcal A $ آنگاه $ E^c\in \mathcal A $ .
می توان به آسانی نشان داد که:
اشتراک هر تعداد از $\sigma $-جبرهای روی $X $ یک سیگما جبر روی $X $ است.
و از این می توان نتیجه گرفت که:
تعریف: اگر $ \varepsilon$ یک زیرمجموعه $P(X) $ باشد آنگاه کوچکترین $ \sigma $ -جبر یکتای شامل $ \varepsilon $ که با $ M(\varepsilon) $ نمایش می دهیم وجود دارد. در واقع $M(\varepsilon) $ برابر است با اشتراک تمام $ \sigma $ -جبرهای شامل $\varepsilon $ . (توجه کنید که همیشه یک سیگماجبر شامل $ \varepsilon $ یعنی $P(X) $ وجود دارد.)
در اینصورت سیگما جبر بورل به صورت زیر تعریف می‌شود:
تعریف:اگر $X $ یک فضای متریک یا بطور کلی یک فضای توپولوژی باشد در اینصورت سیگماجبر تولید شده توسط خانواده مجموعه‌های باز $X $ ( یا به طور معادل خانواده مجموعه‌های بسته $X $ ) را سیگماجبر بورل روی $X $ می نامند و با $ \mathcal{B}_X $ نمایش می‌دهند.
حال اگر قرار دهیم $ X=\mathbb{R} $ یعنی مجموعه اعداد حقیقی را در نظر بگیریم در اینصورت سیگماجبر بورل روی
$ \mathbb{R} $ یعنی $\mathcal{B}_\mathbb{R} $ عبارت است از سیگماجبر تولید شده توسط تمام مجموعه‌های باز( یا به طور معادل توسط تمام مجموعه های بسته) در $ \mathbb{R} $ .
قضیه معروفی که در تمام کتاب‌های آنالیزی می توانید پیدا کنید از این قرار است:
سیگماجبر بورل $ \mathcal{B}_\mathbb{R} $ توسط خانواده های زیر نیز تولید می شود:
- بازه های باز $ \varepsilon_1=\{(a, b): a< b\} $
- بازه های بسته $\varepsilon_2=\{[a, b]: a< b\} $
- فاصله های نیم باز $ \varepsilon_4=\{(a, b]: a< b\} $ یا $\varepsilon_3=\{[a, b): a< b\} $
- مجموعه های به شکل $$\varepsilon_5=\{(a, \infty): a\in \mathbb{R}\} $$ یا $$\varepsilon_6=\{(-\infty, b): b\in\mathbb{R}\} $$
- مجموعه های به شکل $$ \varepsilon_7=\{[a, \infty): a\in \mathbb{R}\}$$ یا $$ \varepsilon_8=\{(-\infty, b]: b\in \mathbb{R}\}$$ .
اطلاعات وارد شده از کتاب آنالیزحقیقی فولند بود. شما می توانید مشابه مطالب بالا را در هر کتاب آنالیزی دیگری نیز بیابید.
