گاهی اوقات ممکن است به عنوان مثال فقط در مورد اعداد حقیقی بحث کنیم که در اینصورت مجموعه مرجع را اعداد حقیقی در نظر میگیریم. یا مثلا ممکن است ما دانش آموزان یک مدرسه را مورد مطالعه قرار دهیم که در اینصورت مجموعه مرجع ما برابر دانش آموزان آن مدرسه است. ممکن است شما را به عنوان دانشجوی یک دانشگاه خاص در نظر بگیریم که در اینصورت مجموعه مرجع ما برابر دانشجویان آن دانشگاه است ولی اگر شما را به عنوان یک دانشجو در استان شما در نظر بگیریم در اینصورت مجموعه مرجع برابر تمام دانشجویان استان شماست. و به همین ترتیب اگر شما را به عنوان یک دانشجو در ایران در نظر بگیریم در اینصورت مجموعه مرجع برابر است با تمام دانشجویان ایران. یا مثلا یک تابع پیوسته $f:\mathbb R\to \mathbb R$ را می توان عضوی از مجموعه تمام توابع پیوسته روی اعداد حقیقی در نظر گرفت که در اینصورت مجموعه مرجع ما تمام توابع حقیقی پیوسته خواهد شد.
مجموعه مرجع (Universal Set) یا مجموعه جهانی به مجموعه ای گفته می شود که در برگیرنده تمام اشیا ازجمله خودش است. البته در نظریه مجموعه وجود چنین مجموعه ای(مجموعه مرجع) به تناقض می انجامد که به پارادوکس راسل معروف است.
پارادوکس راسل را این چنین بیان می کنیم:
لم 1. فرض کنید $\mathcal U$ مجموعه تمام مجموعه ها وجود دارد. فرض کنید
$ R=\lbrace S\in \mathcal U: S\notin S \rbrace$ آنگاه $R\notin R$
اثبات: (برهان خلف) فرض کنیم $R\in R$ . در اینصورت بنابر تعریف مجموعه $R$ باید $R\notin R$ که تناقض است. لذا باید $R\in R$ .
لم2. فرض کنید $\mathcal U$ مجموعه تمام مجموعه ها وجود دارد. فرض کنید
$ R=\lbrace S\in \mathcal U: S\notin S \rbrace$ آنگاه $R\in R$
اثبات: (برهان خلف) فرض کنید $R\notin R$ چون $R\in\mathcal U$ لذا از تعریف $R$ باید $R\in R$. که تناقض است لذا باید $R\in R$ .
قضیه: مجموعه تمام مجموعه ها وجود ندارد.
اثبات: از دو لم بالا نتیجه می شود. چون وجود مجموعه همه مجموعه ها به تناقض $R\in R$ و $R\notin R$ منجر می شود.
پس باید دقت کنید که در ریاضیات وقتی بحثی از مجموعه مرجع شد باید ببینید در آن متن کتاب مجموعه مرجع را چه چیزی عنوان کرده و در مورد چه چیزهایی بحث می شود(مانند مثال هایی که در ابتدا بیان شد). اینطور نیست که منظور از مجموعه مرجع مجموعه ای شامل همه مجموعه ها باشد چون همانطور که اشاره شد وجود چنین مجموعه ای به تناقض می انجامد.
مراجع:
Set Theory with Applications نوشته Lin و Lin
https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_set
