آنالیز حقیقی(فضای اندازه پذیر)

Question

نشان دهیداگر$ \mu _{1} $و$ \mu _{2} $و... یک فضای اندازه پذیر باشند و $ a_{1} $ و$a_{2} $و... بزرگتر .مساوی صفر باشند(عضو بازه بسته صفرتا بینهایت باشن )آنگاه $ \sum_0^ \varpi a_{n} \mu _{n} $ اندازه پذیر است

Comments

سلام ممنون برای ارسال سوال. ولی اشتباه نوشتید سوال رو.
فرض کنید $\mu_1$ و $\mu_2$ و... اندازه هایی روی یک فضای اندازه پذیر باشند و $a_1, a_2,...\in [0, \infty)$ در اینصورت $\sum_1^\infty a_n\mu_n$ نیز یک اندازه است.
مرجع هم Richard F. Bass .

Answer 1

فرض کنید $\mu=\sum_1^\infty a_i\mu_i$ در اینصورت واضح است که $\mu(\emptyset)=0$ زیرا برای هر $i$ داریم $\mu_i(\emptyset)=0$ .

حال فرض کنید $A_1, A_2, ...$ مجموعه های اندازه پذیر دوبه دو مجزا باشند در اینصورت:

$$\begin{align}\mu(\cup_{j=1}^\infty A_j)&=\sum_{i=1}^\infty a_i\mu_i(\cup_{j=1}^\infty A_j)\\ &=\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_i \mu_i(A_j)\\ &=\sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_i\mu_i(A_j)\\ &=\sum_{j=1}^\infty \mu(A_j)\end{align}$$

توجه کنید که چون جملات مثبت بودند حق داشتیم که ترتیب علامت مجموعها را تغییر بدیم. یعنی از این نکته استفاده کردیم که

اگر $a_{ij}\geq 0$ آنگاه:$$\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty a_{ij}=\sum_{j=1}^\infty\sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$

Comments

ممنون ازپاسخ شما بابت نوشتن اشتباه هم ببخشید .