Question

فرض کنیدIیک ایده‌آل تک جمله‌ای ازSباشد. شرایط زیر معادلند:

1)$S/I$تمیز است.

2) تجزیه ابتدایی$ P : I= \cap Qj $از Iوجود دارند بطوریکه هر Qj ایده‌آل تک جمله‌ای Pj-ابتدایی تحویل ناپذیراست، بطوری‌که i) $htPj \leq htPj+1$برای هر j و {Min S/I ={P1,...,pr

ii)برای هر $1 \leq j \leq r$ $Tj $،منفرد است.

Answer 1

فرض کنید که $S/I$تمیز باشد در اینصورت پولاریزیشن آن هم تمیز است پس بدون کاستن از کلیت می توانیم ایده آل را خالی از مربع در نظر بگیریم پس $I= I_{ \triangle } $

طبق قضیه درس($Dress $) مجتمع سادکی $ \triangle $ پوسته پذیر است اگرو تنها اگر $I= I_{ \triangle } $ تمیز باشد. فرض کنید ایده آل تمیز باشد لذا پوسته پذیر است لذا طبق قضیهای از بیورنر و واکس، $ \triangle $ دارای ترتیبی است که تحت آن $ \mid F_{i} \mid \geq \mid F_{i+1} \mid $ با استفاده مجدد از قضیه درس($Dress $) یک فیلتریشن اول داریم که $supp(\mathbb(F)=\{ p_{1} ,..., p_{r} \} $ و در آن $ p_{i}=< x_{j} \mid j \notin F_{i}>$ پس طبق آنچه گفته شد $ht(p_{i})= \mid { F_{i}}^{c} \mid =n-\mid F_{i} \mid $

پس از آنجایی که $ \mid F_{i} \mid \geq \mid F_{i+1} \mid $ پس $ht(p_{i})= \mid { F_{i}}^{c} \mid \leq \mid { F_{i+1}}^{c} \mid =ht(p_{i+1}) $ حال با استفاده از قضیه $2.4$ مقاله $ Prime \ Filtrations \ and \ Primary Decompositions \ of \ Modules $ از دکتر سلیمان جهان حکم نتیجه می شود.