با استفاده از تعریف حد و به نوعی همان دنباله میتوانیم ثابت کنیم که حد وجود ندارد. فرض کنید که
$ \lim_{x \rightarrow 0} sin( \frac{1}{x} )=l $ دو حالت داریم
$l=0 $
در این حالت باید برای هر $ \epsilon > 0$ یک $ \delta > 0 $ وجود داشته باشد که به ازای هر $ \mid x \mid < \delta $ داشته باشیم $ \mid sin( \frac{1}{x} ) \mid < \epsilon $ اما برای $ \epsilon = \frac{1}{2} $ هر $ \delta $ مثبت را در نظر بگیریم طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد یک $ n $ وجود دارد که
$ \mid x=\frac{1}{2n\pi+ \frac{\pi}{2} } \mid < \delta $ اما $\mid sin(\frac{1}{x}) \mid=\mid sin(\frac{1}{2n\pi+ \frac{\pi}{2} }) \mid =1\nless \frac{1}{2}$ و این تناقض است.
$l \neq 0 $
برای $ \epsilon = \frac{l}{2} $ هر $ \delta $ مثبت را در نظر بگیریم طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد یک $ n $ وجود دارد که
$ \mid x=\frac{1}{2n\pi } \mid < \delta $ اما
$$\mid sin(\frac{1}{x}) -l \mid=\mid sin(\frac{1}{2n\pi })-l \mid = \mid l \mid l\nless \frac{l}{2}$$ و این تناقض است.
