Question

با استفاده از تعریف حد نشان دهید که $ \lim_{x \rightarrow 0 }sin( \frac{1}{x}) $ وجود ندارد.

Answer 1

کافی است دو دنباله $\frac 1{2n\pi}$ و $\frac 1{2n\pi+\frac \pi2}$ را در نظر بگیریم.

Comments

سپاسگزارم از پاسختون
ولی راه حلی غیر از استفاده از دنباله ها نداره؟

Answer 2

با استفاده از تعریف حد و به نوعی همان دنباله میتوانیم ثابت کنیم که حد وجود ندارد. فرض کنید که $ \lim_{x \rightarrow 0} sin( \frac{1}{x} )=l $ دو حالت داریم

$l=0 $

در این حالت باید برای هر $ \epsilon > 0$ یک $ \delta > 0 $ وجود داشته باشد که به ازای هر $ \mid x \mid < \delta $ داشته باشیم $ \mid sin( \frac{1}{x} ) \mid < \epsilon $ اما برای $ \epsilon = \frac{1}{2} $ هر $ \delta $ مثبت را در نظر بگیریم طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد یک $ n $ وجود دارد که $ \mid x=\frac{1}{2n\pi+ \frac{\pi}{2} } \mid < \delta $ اما $\mid sin(\frac{1}{x}) \mid=\mid sin(\frac{1}{2n\pi+ \frac{\pi}{2} }) \mid =1‎\nless‎ \frac{1}{2}$ و این تناقض است.

$l \neq 0 $

برای $ \epsilon = \frac{l}{2} $ هر $ \delta $ مثبت را در نظر بگیریم طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد یک $ n $ وجود دارد که $ \mid x=\frac{1}{2n\pi } \mid < \delta $ اما $$\mid sin(\frac{1}{x}) -l \mid=\mid sin(\frac{1}{2n\pi })-l \mid = \mid l \mid l\nless‎ \frac{l}{2}$$ و این تناقض است.