به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
86 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط mhasan
ویرایش شده توسط AmirHosein

متغیرپیوستهٔ $X$ دارای تابع توزیع پیوسته $F_X(x)$ است. اگر $f$ تابعی اکیداصعودی و $Y=f(X)$ باشد، آنگاه حاصل $P(Y-E(Y)<0.25)$ را بدست آورید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein

$X$ را یک متغیر تصادفی، $F_X$ را تابع پخش انباشتگی (توزیع تجمعی) -ِ آن، و $f$ را تابعی افزایشیِ اکید (اکیداً صعودی) بگیرید و قرار دهید $Y=f(X)$. اکنون پرسش شما $P(Y-E(Y)<0.25)$ را می‌خواهد. توجه کنید که چون $f$ افزایشیِ اکید است پس یک‌به‌یک است و داریم $$E(Y)=\sum_yyP(Y=y)=\sum_xf(x)P(X=x)=E(f(X))$$ (در حالت متغیر پیوسته، به جای جمع از انتگرال استفاده کنید).

$E(f(X))$ را که یک عدد ثابت است با $\mu$ نمایش دهید. چون $f$ یک‌به‌یک است، وارونی دارد، آن را با $f^{-1}$ نمایش دهید. $$\begin{array}{lll}P(Y-E(Y)<0.25) & = & P(Y-\mu < 0.25)\\ & = & P(Y<\mu+0.25)\\ & = & P(f(X)<\mu+0.25)\end{array}$$ چون $f$ افزایشیِ اکید است پس ${x\mid f(x)<a}$ برابر است با ${x\mid x<f^{-1}(a)}$. در نتیجه $$P(f(X)<\mu+0.25)=P(X<f^{-1}(\mu+0.25))=F_X(f^{-1}(\mu+0.25))$$

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...