پس $X$ را یک متغیر تصادفی، $F_X$ را تابع پخش انباشتگی (توزیع تجمعی) -ِ آن، و $f$ را تابعی افزایشیِ اکید (اکیداً صعودی) بگیرید و قرار دهید $Y=f(X)$. پرسش شما $P(Y-E(Y)<0.25)$ را میخواهد. توجه کنید که چون $f$ افزایشیِ اکید است پس یکبهیک است و داریم
$$E(Y)=\sum_yyP(Y=y)=\sum_xf(x)P(X=x)=E(f(X))$$
(در حالت متغیر پیوسته، به جای جمع از انتگرال استفاده کنید).
اکنون $E(f(X))$ را که یک عدد ثابت است با $\mu$ نمایش دهید. چون $f$ یکبهیک است، وارونی دارد، آن را با $f^{-1}$ نمایش دهید.
$$\begin{array}{lll}P(Y-E(Y)<0.25) & = & P(Y-\mu < 0.25)\\
& = & P(Y<\mu+0.25)\\
& = & P(f(X)<\mu+0.25)\end{array}$$
چون $f$ افزایشیِ اکید است پس $\{x\mid f(x)<a\}$ برابر است با $\{x\mid x<f^{-1}(a)\}$. در نتیجه
$$P(f(X)<\mu+0.25)=P(X<f^{-1}(\mu+0.25))=F_X(f^{-1}(\mu+0.25))$$
