متغیر تصادفی Y را با اثر دادن یک تابع افزایشی اکید بر متغیر تصادفی دیگری تعریف کنید. احتمال اینکه تفاضلش از امیدش بیشتر از مقداری نشود را محاسبه کنید.

Question

متغیرپیوستهٔ $X$ دارای تابع توزیع پیوسته $F_X(x)$ است. اگر $f$ تابعی اکیداصعودی و $Y=f(X)$ باشد، آنگاه حاصل $P(Y-E(Y)< 0.25)$ را بدست آورید.

Answer 1

پس $X$ را یک متغیر تصادفی، $F_X$ را تابع پخش انباشتگی (توزیع تجمعی) -ِ آن، و $f$ را تابعی افزایشیِ اکید (اکیداً صعودی) بگیرید و قرار دهید $Y=f(X)$. پرسش شما $P(Y-E(Y)< 0.25)$ را می‌خواهد. توجه کنید که چون $f$ افزایشیِ اکید است پس یک‌به‌یک است و داریم

$$E(Y)=\sum_yyP(Y=y)=\sum_xf(x)P(X=x)=E(f(X))$$

(در حالت متغیر پیوسته، به جای جمع از انتگرال استفاده کنید).

اکنون $E(f(X))$ را که یک عدد ثابت است با $\mu$ نمایش دهید. چون $f$ یک‌به‌یک است، وارونی دارد، آن را با $f^{-1}$ نمایش دهید.

$$\begin{array}{lll}P(Y-E(Y)< 0.25) & = & P(Y-\mu < 0.25)\\ & = & P(Y< \mu+0.25)\\ & = & P(f(X)< \mu+0.25)\end{array}$$

چون $f$ افزایشیِ اکید است پس ${x\mid f(x)< a}$ برابر است با ${x\mid x< f^{-1}(a)}$. در نتیجه

$$P(f(X)< \mu+0.25)=P(X< f^{-1}(\mu+0.25))=F_X(f^{-1}(\mu+0.25))$$