اثبات قضیه ای در گروه ها

Question

اگر مرتبه گروه G برابر pq که در آن p و q دو عدد اول متمایز هستند باشد و p>q در این صورت G فقط یک زیرگروه از مرتبه p دارد.

Answer 1

فکر کنم این مطلب در کتاب جبر هراشتاین موجود هست. راهنمایی:

• فرض کنید $H, K\leq G$ زیرگروههایی از مرتبه $p$ باشند.

• در اینصورت $|H|=|k|> \sqrt{|G|}$ (چرا؟)

پس طبق نتیجه زیر:

اگر $H,K\leq G$ که $|H|,|K|> \sqrt{|G|}$ در اینصورت $H\cap K\neq (e)$ .

• داریم $|H\cap K|> 1$

• از طرفی $H\cap K\leq H$

• طبق قضیه لاگرانژ $|H\cap K|=|H|=p$ .

• لذا $H\cap K=H$ یا به عبارت دیگر $H\subseteq K$

• به طور مشابه $K\subseteq H$

یعنی $H=K$ .

Comments

@fardina ممنون کاملا درسته . فقط یک چیز به نظرم در اثبات شما کم هست و اون هم اثبات وجود زیرگروهی از مرتبه p هست. که البته بنا به قضیه کوشی مشخصا هم عنصری از مرتبه p و لذا زیرگروهی از مرتبه p در G هست . ممنون

---

@farshchian2090
بله درسته ممنون.