به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
171 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

اگر مرتبه گروه G برابر pq که در آن p و q دو عدد اول متمایز هستند باشد و p>q در این صورت G فقط یک زیرگروه از مرتبه p دارد.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

فکر کنم این مطلب در کتاب جبر هراشتاین موجود هست. راهنمایی:

  • فرض کنید $H, K\leq G$ زیرگروههایی از مرتبه $p$ باشند.

  • در اینصورت $|H|=|k|> \sqrt{|G|}$ (چرا؟)

پس طبق نتیجه زیر:

اگر $H,K\leq G$ که $|H|,|K|> \sqrt{|G|}$ در اینصورت $H\cap K\neq (e)$ .

  • داریم $|H\cap K|> 1$

  • از طرفی $H\cap K\leq H$

  • طبق قضیه لاگرانژ $|H\cap K|=|H|=p$ .

  • لذا $H\cap K=H$ یا به عبارت دیگر $H\subseteq K$

  • به طور مشابه $K\subseteq H$

یعنی $H=K$ .

دارای دیدگاه توسط
+1
@fardina ممنون کاملا درسته . فقط یک چیز به نظرم در اثبات شما کم هست و اون هم اثبات وجود زیرگروهی از مرتبه p هست. که البته بنا به قضیه کوشی مشخصا هم عنصری از مرتبه p و لذا زیرگروهی از مرتبه p در G هست . ممنون
دارای دیدگاه توسط
+1
@farshchian2090
بله درسته ممنون.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...