Question

هرگاه حاصلضرب $ n$عدد مثبت مقداري ثابت باشد يعني داشته باشيم :

$P= x_{1} . x_{2} . x_{3} ... x_{n} $

آنگاه حاصل جمع آنها يعني:

$S= x_{1} + x_{2} +...+ x_{n} $

چه موقع مينيمم است؟

Comments

به نظرم میرسه که سوال رو اشتباه نوشید.
منظورتون این بوده که حاصلضرب ثابت هست و میخواید بدونید چه وقت مجموع مینیمممیشه درسته؟

---

@fardina
بله حواسم نبود ببخشيد
الان ويرايش ميكنم.

Answer 1

فرض کنید حاصلضرب ثابت و برابر $P$ باشد. برای اثبات رابطه می توانیم از قضیه میانگین کوشی استفاده کنیم که برای $ x_{1} ,..., x_{n} $ داریم: $$ \frac{ x_{1} +...+ x_{n} }{n} \geq \sqrt[n]{ x_{1} ... x_{n} } $$

و تساوی وقتی برقرار است که اعداد با هم برابر باشند.

پس مجموع توسط $n\sqrt[n]{ x_{1} ... x_{n} }=n \sqrt[n]{P} $ از پایین کراندار است و طبق قضیه مینیمم زمانی اتفاق می افتد که اعداد با هم برابر باشند.