فرض کنید حاصلضرب ثابت و برابر $P$ باشد.
برای اثبات رابطه می توانیم از قضیه میانگین کوشی استفاده کنیم که برای $ x_{1} ,..., x_{n} $
داریم:
$$ \frac{ x_{1} +...+ x_{n} }{n} \geq \sqrt[n]{ x_{1} ... x_{n} } $$
و تساوی وقتی برقرار است که اعداد با هم برابر باشند.
پس مجموع توسط $n\sqrt[n]{ x_{1} ... x_{n} }=n \sqrt[n]{P} $ از پایین کراندار است و طبق قضیه مینیمم زمانی اتفاق می افتد که اعداد با هم برابر باشند.
