مثالی از یک ایده آل خطی مولفه ای

Question

فرض کنید $I=( c^{2} ,abc, a^{2} b^{2}) $ که ایده آلی از حلقه ی $R=K[a,b,c]$ است.نشان دهید این ایده آل خطی مولفه ای است. باید نشون بدیم که هر $ I_{ < j > } $ تحلیل خطی دارد.با $ I_{ < 2 > } $ شروع میکنیم که برابر $ < c^{2} > $است که دو خطی است.$ I_{ < 3 > }= < a c^{2} ,abc,b c^{2} , c^{3} > $ که سه خطی است.سوال من اینه که طرز نوشتن $ I_{ < 4 > } $ به چه صورته .بخصوص این که ضرایب رو میتونیم به چه فرم انتخاب کنیم.فرضا آیا $ab$میتونه ضریب باشه؟در ضمن تا چه $j$ ای ادامه میدیم؟از کجا بدونیم برای تمام $j$ ها تحلیل خطی داره.

Answer 1

طبق تعریف $I_{<4>} $ برابر ایده آل تولید شده توسط تمام چند جمله ای ها از درجه ی $4$ در $ I $ است.ما باید با مولدها کار کنیم مطمئنا اگر $ u \in I_{<4>}$ آنگاه هر ضریبی از این عضو مانند $abu $ در $ I_{<4>} $ است ولی دیگه مینیمال نیست.

البته اگر $ u \in G( I_{<3>}) $ آنگاه $ mu \subseteq G(I_{<4>}) $ (یعنی تمام $au,bu,cu $)

اگر $ u \in G( I_{<2>}) $ آنگاه $ m^{2} u \subseteq G(I_{<4>}) $ (یعنی تمام $ a^{2} u,abu,acu, b^{2}u,bcu, c^{2}u $)

اگر دقت کنید حداکثر درجه ی حاضر در مولدهای $I $ برابر $ 4$ است. پس بعد از $I_{<4>} $ ایده آلهای $ I_{<j>}$ به صورت $ m^{j-4} I_{<4>} $ هستند و طبق لم $8.2.10 $ در کتاب هرزوگ هیبی اگر $I $ دارای تحلیل خطی باشد آنگاه $mI $ هم دارای تحلیل خطی است و با استقرا $ m^{i} I $ هم دارای تحلیل خطی است.

پس در این مثال اگر تا $I_{<4>} $ ثابت شود کافیست.