مقدار حد $\lim_{x\rightarrow \infty}\big(\sin(\sqrt{x+1})-\sin(\sqrt{x})\big)$ چقدر است؟

Question

مقدار حد زیر را بدست آورید.

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\big(\sin(\sqrt{x+1})-\sin(\sqrt{x})\big)=?$$

Comments

میشه مجموع سینوس ها رو به ضرب تبدیل کنید ببینید چی میشه؟

Answer 1

$ \lim_{x\to \infty }( sin\sqrt{x+1}- sin\sqrt{x})= \lim_{x\to \infty }( 2sin \frac{\sqrt{x+1}- \sqrt{x}}{2} cos\frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{2})= \lim_{x\to \infty }( 2sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+ \sqrt{x})} cos\frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{2}) $

از آنجاییکه $ cos\frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x}}{2} $ در بینهاینت کران دار است و حد$ sin \frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} $ دربینهایت صفر است پس حدبالا صفر خواهدشد

Answer 2

راهنمایی:

$$\sin a-\sin b=2\sin\frac{a-b}{2}\cos\frac{a+b}{2}$$

و در نهایت مخرج را گویا کرده و حد بگیرید.