اگر$ A $ زیر مجموعه بورل اندازه پذیر باشد در اینصورت می توان تابع مشخصه آن را با یک تابع پیوسته تقریب زد

Question

فرض کنیداگر $A$ زیر مجموعه بورل اندازه از $[0,1]$ و $m$ اندازه لبگ باشد و $\epsilon\in(0,1 )$ ثابت کنید وجود دارد یک تابع پیوسته $f:[0,1]\to\mathbb R$

بطوری که $0\leq f\leq 1$ و $m(\{x:f(x) \neq \chi _A(x)\}) < \epsilon$

Answer 1

راهنمایی:

مساله شما صورت ضعیف تری از قضیه لوزین می باشد که به طور کلی می گوید هر نگاشت اندازه پذیری توسط تابع پیوسته ای که تحدید از همان تابع اندازه پذیر است تقریب می خورد.

قضیه لوزین: فرض کنید $ \Phi :M \longmapsto N$ نگاشت اندازه پذیری به فضای فضای متریک جدایی پذیر $N$ باشد در این صورت به ازای هر $ \epsilon \geq 0$ زیر مجموعه بسته $ F \subseteq M$ موجود است بطوری که :

$ \epsilon\geq m(M-F)$

تحدید $ \Phi $ روی $F$ پیوسته است.

لازم بذکر است می توانید اثبات قضیه لوزین را برای مثال خود پیاده کنید برای جزیات بیشتر به اثبات قضیه لوزین مراجعه کنید. من قضیه لوزین را از منبع

Foundation of Ergodic theory by Viana and oliveira

گفته ام (ضمیمه A).