به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
372 بازدید
در دبیرستان توسط ms78
ویرایش شده توسط fardina

در ذوزنقه ABCD امتداد ساق های AB و CD از نقطه M و قطرها در نقطه N همدیگر را می برند. اگر اندازه قاعده بزرگ برابر a و اندازه قاعده کوچک برابرb باشد ثابت کنید $$\frac{S_{AND}}{S_{AMD}}=\frac{a-b}{a+b}$$

توسط fardina
+1
منظورتون از ساق اینه که دو ضلع غیر موازی ذوزنقه با هم برابر هستند؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

enter image description here

با توجه به شکل فوق داریم: $$K=\frac{S_{AND}}{S_{AMD}}=\frac{1/2AD\times h'}{1/2ADh}=\frac {h'}h\tag{*}$$

ما به دنبال $K$ هستیم.

دو مثلث $AND$ و $BNC$ بنابر حالت سه زاویه متشابه اند و چون نسبت تشابه با نسبت ارتفاعها برابر است داریم: $$\frac ab=\frac{h''}{h'}\tag{**}$$

اما دو مثلث $MBC$ و $MAD$ متشابه اند(سه زاویه) و چون نسبت تشابه با نسبت ارتفاعها برابر است داریم: $$\frac{BC}{AD}=\frac{a}{b}=\frac{h+h'+h''}{h}=1+K+\frac{\frac{h''}{h'}}{\frac{h}{h'}}=1+K+\frac{\frac ab}{\frac 1k}$$ یا بطور معادل $$ \frac ab=1+k+k\frac ab $$ لذا $$k=\frac{\frac ab-1}{\frac ab+1}=\frac{a-b}{a+b}$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...