اثبات زیاد بودن اعداد گنگ از اعداد گویا

Question

ثابت کنید تعداد اعداد گنگ بیشتر از اعداد گویا است.

Comments

سلام
از طرفی می دونیم که تعداد اعضای مجموعه گنگ بی نهایت هست. این برای مجموعه اعداد گویا هم صادقه.
بنابراین دو مجموعه هم ارز هستند. بیشتر بودن تعداد اعداد گنگ و هم ارز بودن اونها با اعداد گویا رو چطور می تونیم توضیح بدیم؟
یا به عبارت دیگر در پاسخ به این سوال که "آیا اعضای مجموعه گنگ بیشتر است یا گویا؟" چه باید بگوییم؟

---

@rafig256 هم‌ارزی دو مجموعه یعنی تابعی یک‌به‌یک و پوشا بین آن دو باشد نه اینکه تعداد متناهیِ یکسان عضو داشته‌باشند یا اینکه هر دو نامتناهی باشند. بین هر دو مجموعهٔ نامتناهی نمی‌توان یک تابع یک‌به‌یک و پوشا یافت. بین اعداد گویا و اعداد گنگ نیز هیچ تابع هم یک‌به‌یک و هم پوشایی وجود ندارد. در نتیجه جملهٔ «بنابراین دو مجموعه هم‌ارز هستند» نادرست است.

Answer 1

روش اول: متناظر با هر عدد گویا یک عدد گنگ معرفی میکنیم. و نشان میدهیم که اعداد گنگ دیگری هم وجود دارند.

$i$)عدد $ e $ یا حتی $ \pi $ را در نظر بگیرید. برای هر عدد گویای دلخواه $ \frac{a}{b} $ عدد گنگ $ e^{ \frac{a}{b} } $ یا $ \pi^{ \frac{a}{b} } $ را درنظر میگیریم و این نشان میدهد که اعداد گنگ حداقل دو برابر اعداد گویا هستند(متناظر یک گویا دو عدد گنگ موجود است) تازه اعداد رادیکالی هم هستند.

$ii$) هر عدد گویا را میتوان به صورت یک عدد اعشاری مختوم یا نامختوم متناوب است. اگر مختوم باشد مثلا $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} $ عدد گنگ $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m}1001000100001... $ را نظیر میکنیم و اگر نامختوم متناوب و به صورت $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} \overline{ c_{1} ... c_{k} } $ باشد عدد گنگ $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} c_{1} ... c_{k}1c_{1} ... c_{k}01c_{1} ... c_{k}001c_{1} ... c_{k}..... $ را نظیر میکنیم.

حتی میتوان به جای 1 عدد 2 را قرار دهیم پس تعداد گنگها بیشتر است.

روش دوم: ثابت شده است که اعداد حقیقی ناشمارا و اعداد گویا شمارا هستند حال اگر اعداد گنگ شمارا باشند آنگاه اجتماع گویا و گنگ یعنی دو مجموعه شمارا ، شمارا می شود اما اعداد حقیقی ناشمارا هستند پس اعداد گنگ ناشمارا است. لذا از اعداد گویا بیشتر است.

Comments

اعداد گویا شمارا است؟مطمعنید؟

---

@Taha1381 چرا شما به جای همزه از عین استفاده‌می‌کنید؟ غیر از مطمئن در اینجا که مطمعن نوشته‌اید، در جای دیگر دیدم سؤال را سعال نوشته‌اید. دیده‌ام که برخی ئ را ی بنویسند و یا ؤ را و، ولی نخستین بار است که می‌بینم فردی ئ و ؤ را ع بنویسد!
مجموعهٔ عددهای گویا شمارا هستند. خود آقای عرفان می‌توانند منبع مناسب معرفی‌تان کنند، به نظر دانشجوی ریاضی نیستید و گر نه در درس مبانی‌ریاضیات در ترم نخست کارشناسی با این گزاره برخورد می‌داشتید.

---

ببخشید دو تاسوال داشتم:
۱-چرا مجموعه های ناشمارا بزرگتر از مجموعه های شمارا هستند؟
۲-از کجا می دانید پی ضربدر هر عدد گویایی گنگ است؟

---

@Taha1381 هر مجموعهٔ ناشمارایی یک زیرمجموعهٔ شمارا دارد ولی هیچ مجموعهٔ شمارایی دارای زیرمجموعهٔ ناشمارا نیست.
فرض کنید حاصل ضربتان گویا باشد آنگاه اگر آن عدد گویا را تقسیم بر عدد گویایی که در $\pi$ ضب کرده‌بودید بکنید حاصل (به شرط ناصفر بودن حاصلضرب که هم‌ارز با ناصفر بودن عدد ضرب شده در $\pi$ است) باید عددی گویا باشد ولی حاصل این تقسیم چیزی نیست جز خود $\pi$ که می‌دانیم گنگ است. پس فرض خلفتان باطل و از آنجا حاصلضرب هر عدد گویای ناصفر در عدد $\pi$، عددی گنگ است.

---

خیلی ممنون.

Answer 2

خب ببین قبول داری که بی نهایت اعداد گویا داریم
اگه هر کدوم از این اعداد رو در یک عدد گنگ مثل رادیکال ۲ ضرب کنیم میبینیم که به تعداد تمام اعداد گویا یک عدد گنگ داریم یعنی تا اینجا تعداد گویا و گنگ برابره خب حالا عدد گویا ها رو در رادیکال ۳ ضرب. میکنیم حالا تعداد گنگ دو برابر تعداد گویا هاست و بقیه اعداد گنگ رو هم اگه در تمام اعداد گویا ضرب کنیم یک عدد گنگ جدید بوجود میاد نتیجه میگیریم تعداد اعداد گنگ خیلی خیلی خیلی که شاید حتی بشه گفت بی نهایت برابر تعداد گویاعه