روش اول:
متناظر با هر عدد گویا یک عدد گنگ معرفی میکنیم. و نشان میدهیم که اعداد گنگ دیگری هم وجود دارند.
$i$)عدد $ e $ یا حتی $ \pi $ را در نظر بگیرید. برای هر عدد گویای دلخواه $ \frac{a}{b} $ عدد گنگ $ e^{ \frac{a}{b} } $ یا $ \pi^{ \frac{a}{b} } $ را درنظر میگیریم و این نشان میدهد که اعداد گنگ حداقل دو برابر اعداد گویا هستند(متناظر یک گویا دو عدد گنگ موجود است) تازه اعداد رادیکالی هم هستند.
$ii$) هر عدد گویا را میتوان به صورت یک عدد اعشاری مختوم یا نامختوم متناوب است. اگر مختوم باشد مثلا $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} $ عدد گنگ $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m}1001000100001... $ را نظیر میکنیم و اگر نامختوم متناوب و به صورت $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} \overline{ c_{1} ... c_{k} } $ باشد عدد گنگ $ a_{n} ...a_{1} / b_{0} ... b_{m} c_{1} ... c_{k}1c_{1} ... c_{k}01c_{1} ... c_{k}001c_{1} ... c_{k}..... $ را نظیر میکنیم.
حتی میتوان به جای 1 عدد 2 را قرار دهیم پس تعداد گنگها بیشتر است.
روش دوم: ثابت شده است که اعداد حقیقی ناشمارا و اعداد گویا شمارا هستند حال اگر اعداد گنگ شمارا باشند آنگاه اجتماع گویا و گنگ یعنی دو مجموعه شمارا ، شمارا می شود اما اعداد حقیقی ناشمارا هستند پس اعداد گنگ ناشمارا است. لذا از اعداد گویا بیشتر است.
