فرض میکنیم که منظورتون قضیه کاتگوری بئر باشه یعنی هر فضای متریک تام از کاتگوری دومه.
به برهان خلف فرض کنیم اینطور نباشه و $ \big(X,d\big) $ فضای متریک تام باشه به طوری که
$X= \cup E_{n} $ که $ E_{n} $ ها هیچ جا چگال هستند.بنابراین $ \big( \overline{ E_{n} } \big) ^{c} $ ها هرجا چگال هستند.پس بدیهیه که هرکدوم از $ \big( \overline{ E_{n} } \big) ^{c} $ ناتهی هستند.فرض کنیم $ x_{1} \in \big( \overline{ E_{1} } \big) ^{c} $ چون $ \big( \overline{ E_{1} } \big) ^{c} $ باز می باشد پس وجود دارد $r > 0$ به طوری که $S \big( x_{1} \ ,r\big) \subseteq \big( \overline{ E_{1} } \big) ^{c} $ برای $ \epsilon _{1} < r$ داریم $ \overline{S} \big( x_{1} , \epsilon _{1} \big) \subseteq S \big( x_{1} ,r\big) \subseteq \big( \overline{ E_{1} } \big) ^{c} E_{1} ^{c} $
این نشان می دهد که $ \overline{S} \big( x_{1} , \epsilon _{1} \big) \cap E_{1} = \phi $
پس به همین ترتیب میتونیم به استقرا گوی های $S \big( x_{k} , \epsilon _{k} \big) $ برای $k=1,2,...,n-1$ آنچنان بسازیم که $ \overline{S} \big( x_{k} , \epsilon _{k} \big) \cap E_{k}= \phi $ که $ x_{k} \in \big( \overline{ E_{k} } \big) ^{c} $ و
$ \epsilon _{k} \leq \frac{1}{2} \epsilon _{k-1} $
