اثبات مدول بودن:
$( E^{'} ,+) $ یک گروه آبلی است.
$i$)بسته بودن: اگر $x,y $ دو عضو دلخواه از $ E^{'} $ باشند آنگاه $ \overline{ \varphi }(x) ,\overline{ \varphi }(y) $ دو عضو از $E^{''}$ خواهند بود و چون $E^{''}$ مدول است پس $ \overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) $ در $E^{''}$ است و چون
$ \overline{ \varphi } $وارون پذیر است لذا $\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )=x+y \in E^{'} $.
$ii$)شرکت پذیری: برای هر سه عضو دلخواه $x,y ,z $ در $ E^{'} $ داریم:
$$(x+y)+z=\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )+z=\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y) )) +\overline{ \varphi }(z) )=\overline{ \varphi }^{-1} ((\overline{ \varphi }(x) +\overline{ \varphi }(y)) +\overline{ \varphi }(z) )= $$
$$\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(x) +(\overline{ \varphi }(y) +\overline{ \varphi }(z) ))= x+\overline{ \varphi }^{-1} (\overline{ \varphi }(y) +\overline{ \varphi }(z) )=x+(y+z)$$
$iii$)عضو خنثی : از اینکه $( E^{'} ,+) $ یک گروه آبلی است داریم عضو خنثی جمعی مانند $0$ دارد عضو خنثی این گروه برابر است با $\overline{ \varphi }^{-1}(0) = \overline{0} $ داریم:
$$x+ \overline{0}=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x)+0)=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x))=x$$
$iv$)وارون : وارون هر عضو مانند $ x $ برابر است با $ -x $
شروط بعدی
(1) به ازای هر دو عضو دلخواه $x,y $ از $ E^{'} $ و هر عضو $r \in R $ داشته باشیم $r(x+y)=rx+ry $داریم:
$$r(x+y)=\overline{ \varphi }^{-1} (r(\overline{ \varphi }(x)+\overline{ \varphi }(y)))=\overline{ \varphi }^{-1} (r\overline{ \varphi }(x)+r\overline{ \varphi }(y))=\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(y))=r.x+r.y$$
(2) به ازای هر دو عضو دلخواه $r,s $ از $ R $ و هر عضو $x \in E^{'} $ داشته باشیم $(r+s)x=rx+sx $داریم:
$(r+s)x=\overline{ \varphi }^{-1}((r+s)\overline{ \varphi }(x))=\overline{ \varphi }^{-1}(r\overline{ \varphi }(x))+\overline{ \varphi }^{-1}(s\overline{ \varphi }(x))=rx+sx$
(3) به ازای هر دو عضو دلخواه $r,s $ از $ R $ و هر عضو $x \in E^{'} $ داشته باشیم $(rs)x=r(sx) $داریم:
$(rs)x=\overline{ \varphi }^{-1}((rs)\overline{ \varphi }(x))=r\overline{ \varphi }^{-1}((s)\overline{ \varphi }(x))=r(sx)$
(4) به ازای هر عضو دلخواه $x $ از $ E^{'}$ داشته باشیم $1x=x $داریم:
$$1x=\overline{ \varphi }^{-1}(1\overline{ \varphi }(x))=\overline{ \varphi }^{-1}(\overline{ \varphi }(x))=x$$
پس مدول بودن ثابت شد.
قسمت دوم سوال شما هم واضح است چون در اصل تعریف کرده ایم که $ E^{'}=M \cup S $ پس داریم: $M \subseteq E^{'}$ و چون مدول است لذا یک زیر مدول خواهد شد.
