اگر $ \nu$ یک اندازه علامت دار باشد انتگرال روی $ \mid \nu \mid $ چطور تعریف می شود؟

Question

اگر $ \nu$ یک اندازه علامت دار باشد و f تابعی اندازه پذیر. انتگرال f روی $ \mid \nu \mid $را چطور تعریف می کنیم؟ ($ \int f d \mid \nu \mid $)

Comments

خوب $|\nu|$ یک اندازه مثبته و شما حتما تعریف انتگرال یک تابع روی یک اندازه مثبت رو خوندید؟

---

@ fardina
بله خوندیم ولی انتگرال رو نمیشه بر حسب $\nu$ نوشت؟
اگر صرفا انتگرال را بر حسب اینکه  $ \mid  \nu  \mid $ اندازه است بنویسیم این میشه:
$ \int f d  \mid  \nu  \mid = \int   f^{+} d \mid  \nu  \mid  - \int f^- d  \mid  \nu  \mid      $
(f حقیقی مقدار است.)
ولی من برای اینکه نشون بدم $L^1( \nu )=L^1( \mid  \nu  \mid )$
احساس میکنم انتگرال را اینجا میشود طور دیگری نوشت. با توجه به اینکه $ \int f d  \nu =  \int f d  \nu ^+ -  \int f d  \nu ^-   $
  آیا این درست نیست؟ $ \int f d  \mid  \nu  \mid  =  \int f d  \nu ^+ +  \int f d  \nu ^-   $ ؟؟

Answer 1

برای اینکه نشون بدید $L^1(\nu)=L^1(|\nu|)$ بنابر تعریف $L^1(\nu)=L^1(\nu^+)\cap L^1(\nu^-)$
حال کافی است نشان دهید
$\int |f|d\nu^+,\int|f|d\nu^- < \infty\iff \int |f|d|\nu|< \infty$
یعنی $L^1(\nu^+)\cap L^1(\nu^-)=L^1(|\nu|)$

Comments

@ fardina
میشه بهم بگید چطور این رو نشون بدم؟
احساس میکنم از پایه ضعیفم..



$ \int \mid  f \mid d  \mid  \nu  \mid = \int   \mid f  \mid  d ( \nu ^++ \nu ^-)=^?  \int  \mid f\mid d \nu ^++ \int \mid f \mid  d \nu ^-    $
 این درسته آیا؟

---

بله این رابطه برقراره و از همین واضحه که $L^1(\nu^+)\cap L^1(\nu^-)=L^1(|\nu|)$ نشون داده میشه.