برای هر $k,n\in\mathbb N$ قرار دهید
$$E_n(k)=\bigcup_{m\geq n}\{x\in X:|f_m(x)-f(x)|\geq \frac 1k\}$$
در اینصورت برای هر $k$ داریم $$\bigcap_{n=1}^\infty E_n(k)=\emptyset$$
اما چون $E_1(k) \supseteq E_2(k)\supseteq \cdots$ از خاصیت پیوستگی از بالا و اینکه $\mu(X)< \infty$ نتیجه بگیرید $$\lim_{n\to\infty}\mu(E_n(k))=0$$
پس برای $\epsilon>0$ داده شده و هر $k$ می توان $n_k$ را طوری یافت که
$$\mu(E_{n_k}(k)< \frac{\epsilon}{2^k}$$
حال کافی است قرار دهید
$$E=\bigcup_{k=1}^\infty E_{n_k}(k)$$
و نشان دهید این مجموعه در احکام قضیه صدق می کند.
