اثبات قضیه اگوروف

Question

اگر $ \mu (X) < \infty $ , $ \lbrace f_n \rbrace $ دنباله ای از توابع اندازه پذیر مختلط باشد که در هر نقطه X نقطه به نقطه همگرا است. و نیز $ \varepsilon > 0$ . در اینصورت یک مجموعه شمارشپذیر مانند $E \subset X$ هست که $ \mu (X-E) < \varepsilon $ , $ \lbrace f_n\rbrace $ به طور یکنواخت بر E همگراست.

Answer 1

برای هر $k,n\in\mathbb N$ قرار دهید $$E_n(k)=\bigcup_{m\geq n}\{x\in X:|f_m(x)-f(x)|\geq \frac 1k\}$$ در اینصورت برای هر $k$ داریم $$\bigcap_{n=1}^\infty E_n(k)=\emptyset$$

اما چون $E_1(k) \supseteq E_2(k)\supseteq \cdots$ از خاصیت پیوستگی از بالا و اینکه $\mu(X)< \infty$ نتیجه بگیرید $$\lim_{n\to\infty}\mu(E_n(k))=0$$

پس برای $\epsilon>0$ داده شده و هر $k$ می توان $n_k$ را طوری یافت که

$$\mu(E_{n_k}(k)< \frac{\epsilon}{2^k}$$ حال کافی است قرار دهید $$E=\bigcup_{k=1}^\infty E_{n_k}(k)$$ و نشان دهید این مجموعه در احکام قضیه صدق می کند.