به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
432 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

سلام. من در اثبات قضیه رادون نیکودیم به مشکل برخوردم.

صورت قضیه در کتاب آنالیز حقیقی فولند: enter image description here

در حالت سوم که اندازه علامت $ \nu $ را به دو اندازه $ \nu^+ $ و $ \nu^- $ تجزیه کردیم برای $ \nu^+ $ و $ \mu $ یک $ \rho ^1$ و $ \lambda ^1 $ و $f^1$ یکتا یافت میشوند همچنین برای $ \nu^- $ و $ \mu $ ، $ \rho ^2$ و $ \lambda ^2 $ و $f^2$ را به طور یکتا پیدا میکنیم (با توجه به حالت دوم )

و در آخر برای $ \nu $ و $ \mu $ ، $ \lambda = \lambda ^1- \lambda ^2$ ، $ \rho = \rho ^1- \rho ^2$ و $f=f^1-f^2$ بدست میآید حال سوال من این است که $f$ باید انتگرال پذیر توسعه یافته نسبت به $ \mu $ باشد(یعنی حداکثر یکی از $ \int f^+d \mu , \int f^-d \mu $ بی نهایت باشند) چطور این اثبات میشود؟ با توجه به اینکه $f^1,f^2 $ میتوانند مثبت بی نهایت را اختیار کنند!

مرجع: کتاب آنالیز حقیقی-فولند- ویرایش دوم- فصل 3 - صفحه 90

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

چون $\nu$ یک اندازه علامتدار است پس حد اکثر می تواندفقط یکی از مقادیر $\infty$ یا $-\infty$ را اختیار کند. پس اگر به عنوان مثال $\nu$ نتواند $\infty$ را اختیار کند انگاه $\nu^+(X)< \infty$ و لذا بنابر حالت دوم در اثبات $\nu^+=\rho^1+\lambda^1$ و $\rho, \lambda$ هر دو اندازه مثبت هستند لذا این دو باید هر دو متناهی شوند. پس مشکلی که گفتید اتفاق نمیفته.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...