سلام. من در اثبات قضیه رادون نیکودیم به مشکل برخوردم.
صورت قضیه در کتاب آنالیز حقیقی فولند:
در حالت سوم که اندازه علامت $ \nu $ را به دو اندازه $ \nu^+ $ و $ \nu^- $ تجزیه کردیم برای $ \nu^+ $ و $ \mu $
یک $ \rho ^1$ و $ \lambda ^1 $ و $f^1$ یکتا یافت میشوند همچنین برای $ \nu^- $ و $ \mu $ ، $ \rho ^2$ و $ \lambda ^2 $ و $f^2$ را به طور یکتا پیدا میکنیم (با توجه به حالت دوم )
و در آخر برای $ \nu $ و $ \mu $ ، $ \lambda = \lambda ^1- \lambda ^2$ ، $ \rho = \rho ^1- \rho ^2$ و $f=f^1-f^2$ بدست میآید حال سوال من این است که $f$ باید انتگرال پذیر توسعه یافته نسبت به $ \mu $ باشد(یعنی حداکثر یکی از $ \int f^+d \mu , \int f^-d \mu $ بی نهایت باشند) چطور این اثبات میشود؟ با توجه به اینکه $f^1,f^2 $ میتوانند مثبت بی نهایت را اختیار کنند!
