در هر دنباله حسابی $abcd+(b-c)^4$ مربع کامل است.

Question

اگر $d,c,b,a$ چهار جمله متوالی دنباله حسابی باشند. نشان دهید $ abcd + ( b - c)^{4} $ مربع کامل است.

Answer 1

ممنون راه حلتون جالب بود ولی اگه کسی فرمول اولو ندیده باشه میتونه از واسطه ی حسابی استفاده کنه $$ \frac{a + c}{2} = b \Rightarrow a = 2b - c$$ $$ \frac{b + d}{2}= c \Rightarrow d = 2c - b $$ حال با جایگذاری تساویهای فوق در رابطه داده شده داریم:

$$ abcd + (b - c)^{4} = (2b - c)bc (2c - b)+ (b - c)^{4} =(2bc - c^{2} )(2bc - b^{2 } )+ ( b - c)^{4} $$

$$ =(4 b^{2} c^{2} -( c^{2}+ b^{2} ) (2bc) + b^{2} c^{2} ) + (b - c)^{4} =$$ $$((-2bc)( b^{2} - 2bc + c^{2} ) + b^{2}c^{2} ) + (b - c)^{4} =$$ $$ (-2bc)(b - c)^{2}+ (bc)^{2} +( (b - c )^{2} )^{2} = $$ $$ ( ( b - c)^{2} - bc )^{2} $$

Answer 2

ابتدا براحتی میتوان ثابت کرد که $ bc-ad=2 q^{2} $ که در آن $ q $ قدر نسبت دنباله است. با ضرب طرفین در $ ad $ همچنین استفاده از رابطه ی $(b-c)^{2}= q^{2} $ داریم: $$abcd=2ad(b-c)^{2} + a^{2}d^{2} $$ با جایگذاری این رابطه در صورت سوال داریم:

$$\begin{align} abcd + ( b - c)^{4}&=(b-c)^{4} + 2ad(b-c)^{2} + a^{2}d^{2}\\ &=((b-c)^{2}+ad)^{2}\\ \end{align} $$

Comments

ببخشید متوجه نشدم میشه قدر نسبت رو با یه نماد دیگه نشون بدید

---

ببخشید تقصیر من بود سوالو ویرایش کرده بودم $q$ رو به $d$ که در دنباله های حسابی معمولا به کار میبرن تبدیل کردم.