به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
1,444 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

اگر $m_{a} $ و $m_{b} $ و $m_{c} $ طول میانه های مثلث ABC باشد ، آنگاه ثابت کنید که مساحت این مثلث برابر است با :

$$S_{ABC}= \frac{4}{3} \sqrt{p(p-m_{a})(p-m_{b})(p-m_{c} )} $$

که در آن $p = \frac{1}{2}(m_{a}+m_{b}+m_{c})$

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

ممکنه هر کسی با دید متفاوتی به این مساله نگاه کنه ولی همونطور که واضحه بنابر قاعده هرون مساحت مثلث با اضلاع $m_a, m_b, m_c$ برابر است با $$S_{m_am_bm_c}=\sqrt{p(p-m_a)(p-m_b)(p-m_c)}$$ که $$p=\frac{m_a+m_b+m_c}2$$

پس حالا کافی است ثابت کنید نسبت مساحت مثلث $ABC$ به مثلث با اضلاع $m_a, m_b, m_c$ برابر است با $\frac 43$ .

برای این کار هم مثلا میتونید مثل زیر عمل کنید:

enter image description here

اگر $O$ محل تلاقی میانه ها باشند نقطه $O'$ را قرینه ی نقطه ی $O$ نسبت به پاره خط $BC$ در نظر بگیرید. در اینصورت کافی است توجه کنید که $CO=\frac 23m_c$ و $ OO'=\frac 23 m_a $ و $O'C=\frac 23 m_b$ (چرا؟)

بنابراین $\frac{S_{COO'}}{S_{m_am_bm_c}}=\frac 49$ .

اما $S_{COO'}=\frac 13 S_{ABC}$ ( زیرا در هر مثلث میانه ها مثلث را به شش مثلث با مساحت مساوی تقسیم میکنند(چرا؟))

بنابراین $S_{ABC}=3\times \frac 49S_{m_am_bm_c}=\frac 43S_{m_am_bm_c}$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...