فرض میکنیم a یک عدد صحیح دلخواه باشد و فرض کنیم $a=p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$ تجزیه a به عوامل اول باشد . تعریف میکنیم $ b=p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_k^{m_k} $ که در آن $m_i \leq n_i$ به ازای هر i که $i=1,2,...,k$ حال اگر s دلخواه باشد در این صورت $a=b^s$ اگر و فقط اگر به ازای هر $ 1 \leq i \leq k$ داشته باشیم $n_i=m_is$.
اثبات قضیه بالا بسیار ساده است و من اینجا اثباتشو نمیارم .
بیان ساده تر قضیه بالا به ما خواهد گفت که اگر شما بخواهید عدد a را به صورت $b^s$ بنویسید باید b را به گونه ای از عوامل اول تجزیه a انتخاب کنید که توان های آن از تقسیم توان های عوامل اول a بر s بدست آمده باشد. یا به عبارت دیگر میتوان b را به صورت $b= \sqrt[s]{a} $ نوشت اگر a طوری انتخاب شود که توان های عوامل اول در تجزیه اش همگی مضرب s باشند . (البته یادمان باشد که عوامل اول a و b باید یکسان باشند .)
چند مثال :
$$ 900=2^2 \times 5^2\times3^2 \Longrightarrow 2\times 5 \times 3=30=\sqrt {900} $$
$$ 1728=2^6 \times 3^3 \Longrightarrow 3 \times 2^2 = 12 = \sqrt[3]{1728} $$
و به همین ترتیب برای هر عدد به تجزیه و سپس به تقسیم پذیری توان های اعداد اول بر فرجه رادیکال توجه کنید .
