تعریف رابطه و تابع

Question

در این پیج میخواهم رابطه و تابع بررسی کنیم:

ممنون میشم به سوالاتم در این مورد پاسخ دهبد!

میدانیم که:

n تایی مرتب:

شامل n عنصر (شی ) که به صورت $( a_{1} , a_{2} ,...,a_{n} )$ نمایش میدهیم به طوری که :

1-)$ a_{1} , a_{2} ,...,a_{n} $ لزوما با هم برابر نیستند.

2-)ترتیب قرار گیری شی ها مهم است یعنی :

$ a_{1} $مختص (مولفه) اول

$ a_{2} $مختص (مولفه)دوم

.

.

. $ a_{n} $مختص (مولفه) $n$ ام

و میدانیم که:

حاصل ضرب $n$ مجموعه :

اگر $n$ مجموعه $ A_{1} , A_{2} ,...,A_{n} $ داشته باشیم در این

صورت به صورت زیرتعریف میشود:

$ A_{1} × A_{2}× ...×A_{n}= $ ${( x_{1} , x_{2} ,..., x_{n} ): x_{1} \in A_{1} ,x_{2} \in A_{2} ,..., x_{n} \in A_{n} }$

با توجه با این مقدمه ممنون میشم رابطه و تابع رو تعریف کنید!!

Answer 1

برای تعریف تابع باید یکی از n متغیر رو به عنوان متغیر وابسته در نظر گرفته و بقیه متغیرها رو به صورت مستقل . در اینجا ما فرض میکنیم متغیر $x_n$ وابسته و متغیرهای$x_1,x_2...x_{n-1}$ مستقل باشند. حال مجموعه تمام n تایی های مرتب $(x_1,x_2,...,x_n)$ یک تابع است اگر و فقط اگر به ازای هر دو n تایی مرتب $(x_1,x_2,...,x_n)$ و $(y_1,y_2,...,y_n)$ اگر داشته باشیم $x_i=y_i$ به ازای $i=1,2,...,n-1$ آنگاه $x_n=y_n$ .

برای تعریف رابطه هم فقط مجموعه n تایی های مرتب کفایت میکند و شرط خاصی لازم نیست .

Comments

@farshchian2090
ممنون بابت پاسخ
فقط چندتا سوال:
بنابه پاسخ شما :هر زیر مجموعه از حاصل ضرب n مجموعه یک رابطه است ! درسته؟؟
بنابراین مجموعه تهی یک رابطه است !!درسته؟؟
فرقی نمیکند که کدام متغیر رو متغیر وابسته در نظر بگیریم؟
این تعریف کلی بود از رابطه و تابع !!حالا در ریاضی باید عضو مجموعه ها عدد  باشد !!درسته ؟؟

---

@amirm20
بله اگر منظور شما ضرب دکارتی مجموعه هاست هر زیرمجموعه از آن هم رابطه خواهد بود فرقی نمیکنه .
مجموعه تهی هم رابطه محسوب میشه.( البته به انتفاع مقدم )
متغیر وابسته میتواند حتی $x_1$ باشد ولی نکته اینجاست که فقط یک متغیر واسته تعریف بشه و بقیه مستقل.

شما این تعریف رو میتونید برای هر حوزه دلخواهی از اعداد ببرید فرقی نمیکنه . اعداد مختلط ، حقیقی ، صحیح و .... حتی ماتریس ها .

---

@farshchian2090
ایا به این توابعی که چند متغیر مستقل دارند میگویند توایع جند متغیره یا تعریف توابع چند متغیر ه فرق میکند ؟؟؟

---

بله این همان توابع چند متغیره هست که استفاده میکنیم.

---

@farshchian2090
ایا برای این توابع چند متغیره دامنه وبرد و ضابطه تعریف میشود ؟؟
ممنون میشم دامنه وبرد و ضابطه را این توابع را تعریف کنید !!

---

بله همه چیز مشابه توابع یک متغیره برای چند متغیره نیز وجود دارد برای هر متغیر مستقل دامنه تعریف خواهد شد و دامنه متغیر های مستقل همان حوزه مقادیریست که میتوانند بگیرند . برای برد مقادیری که متغیر وابسته خواهد داشت برد تابع را تشکیل میدهند. به عنوان مثال $f(x,y)=x^2+y^2$ یک تایع دو متغیره برحسب x و y بوده که دامنه x و دامنه y هر دو $\mathbb{R}$ میباشد و برد این تابع اعداد حقیقی نامنفی است . هم چنین حد مشتق انتگرال و بقیه موارد دیگر برای این توابع تعریف میشن که بحث مفصلین هرکدام .