برای پاسخگویی به این تمرین نیاز دارید تمرین پیشین یعنی ۳.۱۴ را نیز انجام دهید. چون در متن پرسشتان بحث و محیط مطرح نشدهاست نیاز است برای خواننده پرسش را شفاف کنیم (زحمتی که پرسشکننده باید به گردن بگیرد نه پاسخدهنده).
یک شرکت بیمه تعداد برابری آقا و خانم را بیمه میکند، پس احتمال مرد یا زن بودن یک بیمهشدهٔ این شرکت برابر، و برابر با یک دوم است.
در یک سال، ناوابسته به سالهای دیگر، احتمال اینکه بیمهشدهٔ مرد، تصادف داشتهباشد $\alpha$ و برای بیمهشدهٔ زن، $\beta$ است.
در تمرین ۳.۱۴ دو بند وجود دارد. بند (الف) از شما میخواهد که احتمال اینکه یک بیمهشدهٔ این شرکت امسال تصادف داشتهباشد را بیابید. پیشامد تصادف داشتن را با $X$ و پیشامد مرد و زن بودن یک بیمهشده را به ترتیب با $M$ و $F$ نشان دهید در این صورت میدانیم
$$P(F)=P(M)=\frac{1}{2},\:P(X|M)=\alpha,\:P(X|F)=\beta$$
توجه کنید که $F\cup M$ کل بیمهشدگان میشود و $F\cap M=\emptyset$، پس $\{F,M\}$ یک افراز برای فضای نمونه است و در نتیجه میتوان از قضیهٔ ۳.۴ (معادلهٔ افراز) استفاده کرد. خواستهٔ بند (الف) -ِ تمرین ۳.۱۴ یافتن $P(X)$ است.
$$P(X)=P(X|M)P(M)+P(X|F)P(F)=\frac{\alpha+\beta}{2}$$
بند (ب) از شما میخواهد که احتمال اینکه یک بیمهشدهٔ این شرکت دو سال پشتسرهم تصادف داشتهباشد را بیابید. پیشام اینکه یک بیمهشده دو سال پشتسرهم تصادف داشتهباشد را با $Y$ نمایش دهید. پیشامد تصادف داشتن در امسال را با $X_1$ و تصادف داشتن در سال پسین را با $X_2$ نمایش دهید. با توجه به فرضها داریم؛
$$\begin{array}{l}P(X_1|M)=P(X_2|M)=P(X|M)=\alpha\\
P(X_1|F)=P(X_2|F)=P(X|F)=\beta\\
P(Y|M)=P(X_1|M\cap X_2|M)=P(X_1|M)P(X_2|M)=\alpha^2\\
P(Y|F)=P(X_1|F\cap X_2|F)=P(X_1|F)P(X_2|F)=\beta^2\\
P(Y)=P(Y|M)P(M)+P(Y|F)P(F)=\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}\end{array}$$
پرسش ۳.۱۵ میگوید پیشامد تصادف داشتن یک بیمهشده امسال را با $A_1$ نمایش دهید پس در واقع $A_1=X$، پیشامد تصادف داشتن یک بیمهشده در سال پسین را با $A_2$ نمایش دهید پس $Y=A_2|A_1$.
پرسش اصلی که پرسشکنندهٔ این پست نیز راهنمایی میخواهند (با توجه به عنوان پست)، ثابت کردن این است که در این محیط و شرایط داریم $P(A_2|A_1)\geq P(A_1)$. برای این کار کافیست نشان دهیم $P(A_2|A_1)-P(A_1)$ نامنفی است. علت اینکه بندهای (الف) و (ب) تمرین ۳.۱۴ را زمان گذاشتیم و پاسخ دادیم این بود که اکنون آنها را نیاز داریم.
$$\begin{array}{lll}
P(A_2|A_1)-P(A_1) & = & \frac{P(A_2\cap A_1)}{P(A_1)}-P(A_1)\\
& = & \frac{\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}}{\frac{\alpha+\beta}{2}}-\frac{\alpha+\beta}{2}\\
& = & \frac{2(\alpha^2+\beta^2)-(\alpha+\beta)^2}{2(\alpha+\beta)}\\
& = & \frac{(\alpha-\beta)^2}{2(\alpha+\beta)}\geq 0\end{array}$$
