عمق را بدست آورید؟

Question

حلقه‌ی ‎$S=\frac{K[x_{1},\ldots,x_{n}] }{(x_{1},x_{2}) \bigcap( x_{3} , x_{4} )}$‎ کوهن-مکالی نیست چرا؟ عمق آن را بدست اورید؟

Answer 1

برای راحتی کار قرار میدهیم $s=k[ x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} ]$و$I=( x_{1} , x_{2} )$ و$J=( x_{3} , x_{4} )$ آنگاه دنباله ی دقیق کوتاه زیر را داریم:

$$0 \rightarrow \frac{S}{I \cap J} \rightarrow \frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J} \rightarrow \frac{S}{I+J} \rightarrow 0$$

$\frac{S}{I} \cong k[ x_{3} , x_{4}]$لذا کوهن مکالی است و بعد و عمق آن برابر 2 است به طور مشابه $\frac{S}{J} \cong k[ x_{1} , x_{2}]$و بعد و عمق آن برابر 2 است لذا عمق $\frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J}$ نیز برابر 2 است. همچنین بعد $\frac{S}{I+J}$ برابر صفر است.

از فرمول عمق برای رشته ی دقیق کوتاه داریم:

$$0=depth(\frac{S}{I+J}) \geq min\{depth(\frac{S}{I \cap J})-1,depth(\frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J})\}$$ است پس باید $depth(\frac{S}{I \cap J})-1 \leq 0$ باشد.

طبق فرمول دیگر

$$depth(\frac{S}{I \cap J}) \geq min\{depth(\frac{S}{I+J})+1,depth(\frac{S}{I} \oplus \frac{S}{J})\}$$ یعنی $$depth(\frac{S}{I \cap J}) \geq min\{1,2\}=1$$ پس نتیجه می شود که $depth(\frac{S}{I \cap J})=1$

اما بعد حلقه برابر 2 است ($dimA=max\{dim \frac{A}{P} : p \in Ass(A)\}$)لذا کوهن مکالی نیست.