بعد حلقه‌ی PIDرا بدست آورید.

Question

چرا بعد حلقه‌ی PID برابر یک است؟چرا در این حلقه هر ایدال اول غیر صفرماکسیمال است؟

Answer 1

اگر ثابت کنیم که در این حلقه هر ایدال اول غیر صفرماکسیمال است آنگاه مشابه آنچه در سوال بعد میدان را بدست آورید بیان شد بعد حلقه برابر 1 می شود.(تعریف بعد)

فرض کنید $P=(p)$ و $(p) \subseteq (m)$ باشد پس یک $b \in R$ وجود دارد که $p=mb$ پس $p=mb \in P$ باتوجه به تعریف ایده آل اول داریم $m \in P$ یا $b \in P$.

اگر $m \in P$ آنگاه $(m) \subseteq P=(p)$.

اگر $b \in P=(p)$ پس یک $c$ وجود دارد که $b=pc$ لذا داریم: $p=mb= mpc$ لذا نتیجه می شود که $mc=1$ یعنی $m$ وارون پذیر است.و این یعنی $(m)=R$.