به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
43 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

چرا بعد حلقه‌ی PID برابر یک است؟چرا در این حلقه هر ایدال اول غیر صفرماکسیمال است؟

مرجع: کتاب تئوری حلقه جابجایی-ماتسومورا

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اگر ثابت کنیم که در این حلقه هر ایدال اول غیر صفرماکسیمال است آنگاه مشابه آنچه در سوال بعد میدان را بدست آورید بیان شد بعد حلقه برابر 1 می شود.(تعریف بعد)

فرض کنید $P=(p) $ و $(p) \subseteq (m) $ باشد پس یک $b \in R $ وجود دارد که $p=mb $ پس $p=mb \in P $ باتوجه به تعریف ایده آل اول داریم $m \in P $ یا $ b \in P $.

اگر $m \in P $ آنگاه $(m) \subseteq P=(p) $.

اگر $ b \in P=(p) $ پس یک $c $ وجود دارد که $ b=pc $ لذا داریم: $p=mb= mpc $ لذا نتیجه می شود که $mc=1 $ یعنی $ m $ وارون پذیر است.و این یعنی $(m)=R $.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...