بعد حلقه‌ی PIDرا بدست آورید.

Question

چرا بعد حلقه‌ی PID برابر یک است؟چرا در این حلقه هر ایدال اول غیر صفرماکسیمال است؟

Answer 1

اگر ثابت کنیم که در این حلقه هر ایدال اول غیر صفرماکسیمال است آنگاه مشابه آنچه در سوال بعد میدان را بدست آورید بیان شد بعد حلقه برابر 1 می شود.(تعریف بعد)

فرض کنید $P=(p) $ و $(p) \subseteq (m) $ باشد پس یک $b \in R $ وجود دارد که $p=mb $ پس $p=mb \in P $ باتوجه به تعریف ایده آل اول داریم $m \in P $ یا $ b \in P $.

اگر $m \in P $ آنگاه $(m) \subseteq P=(p) $.

اگر $ b \in P=(p) $ پس یک $c $ وجود دارد که $ b=pc $ لذا داریم: $p=mb= mpc $ لذا نتیجه می شود که $mc=1 $ یعنی $ m $ وارون پذیر است.و این یعنی $(m)=R $.