تمام ریشه های حقیقی $p(x)$ (در صورتی که ریشه ای وجود داشته باشد) منفی هستند. فرض کنیم این ریشه ها $-a_1,-a_2,...,-a_k$ باشند . در اینصورت $P(x)$ را می توان به صورت
$$P(x)=C(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_k)(x^2-b_1x+c_1)(x^2-b_2x+c_2)...(x^2-b_mx+c_m)\label{1}\tag{1}$$
که $x^2-b_ix+c_i$ ها چندجمله ایهایی درجه دوم بدون ریشه حقیقی هستند یعنی $b_i^2< 4c_i$ .
چون حاصلضرب چندجمله ایهای با ضرایب مثبت باز هم یک چندجمله ای با ضرایب مثبت است پس کافی است این مطلب را برای ضرایب تجزیه $\eqref{1}$ بررسی کنیم. برای عبارات $(x+a_i)$ که واضح است ضرایب مثبت هستند. پس کافی است فقط برای عبارات به صورت $x^2-b_ix+c_i$ که $b_i^2< 4c_i$ این مطلب را اثبات کنیم.
اما بنابر قضیه دوجمله ای برای هر $n\in \mathbb N$ داریم:
$$(1+x)^n(x^2-bx+c)=\sum_{i=0}^{n+2}\big[ \binom{n}{i-2}-b\binom{n}{i-1}+c\binom{i}{n}\big] x^i=\sum _{i=0}^{n+2}C_ix^i$$
که در آن
$$C_i=\frac{n!\big( (b+c+1)i^2-((b+2c)n+(2b+3c+1))i+c(n^2+3n+2)\big)x^i}{i!(n-i+2)!}$$
ضرایب $C_i$ از $x^i$ به صورت چندجمله ای هایی درجه دوم برحسب $i$ هستند که به $n$ وابسته اند. ما ادعا می کنیم که این چندجمله ای برای $n$ های به اندازه کافی بزرگ دارای مبین(دلتا) منفی هستند و لذا برای هر $i$ مثبت هستند. در واقع داریم
$$\Delta = ((b+2c)n+(2b+3c+1))^2-4(b+c+1)c(n^2+3n+2)=(b^2-4c)n^2-2Un+V$$
که $U=2b^2+bc+b-4c$ و $V=(2b+c+1)^2-4c$ و چون $b^2-4c< 0$ پس برای $n$ های به قدر کافی بزرگ $\Delta< 0$ .
مرجع: کتاب The IMO Compendium(A collection of problems suggested for the international mathematical olympiads: 1954-2004)
