این مجموعه باز است یا بسته ؟؟

Question

مجموعه نقاطی به صورت $Im z=1$ در اعداد مختلط باز است یا بسته ؟؟ در مورد همبند بودن آن چه میتوان گفت ؟؟ هم چنین است برای مجموعه $Imz>1$.

Answer 1

تابع Im از اعداد مختلط به اعداد حقیقی پیوسته است لذا مجموعه $\{x\in C | Im(x)=1\} $ بسته و مجموعه $\{x\in C | Im(x)>1\} $ باز است.

Comments

+1 برای روش جالبتون.

---

درود بر شما ! اگر امکان داره بیشتر توضیح بدید. اما روش شما جالب توجه هست .

لطفا بگید گه از کدام قضیه آنالیز برای چنین ادعایی استفاده کردید . نحوه کار رو دقیق تر روشن کنید.

---

اول باید نشون بدید که تابع Im یک تابع پیوسته هست که کار زیاد سختی نیست(در واقع شبیه تابع تصویر روی مولفه دوم از R^2 به R  هست) و بعد از تعریف تابع پیوسته باید استفاده کرد که تصویر وارون مجموعه های باز، باز و تصویر وارون مجموعه های بسته، بسته است({1} مجموعه ای بسته و بازه 1 تا بی نهایت مجموعه ای باز است).
به همبند بودن سوال توجه نکرده بودم که دوستمون جواب دادن یکی بهترین راه ها برای نشون دادن همبند بودن مجموعه ها استفاده از توابع پیوسته است. برای همبند بودن مجموعه دوم هم می توان از این راه استفاده کرد ولی شاید جذابیت و زیبایی پاسخ به سوال اول را نداشته باشد برای مثال تابع f(z)=re(z)+(e^Im(z)+1)i از اعداد مختلط به اعداد مختلط همبند بودن مجموعه دوم را نشان می دهد.

---

بله درست فرمودید . ممنون از شما و آقا فردین عزیز .

Answer 2

مجموعه ی $\{z: im z=1\}$ برابر است با مجموعه $\{x+i:x\in \mathbb R\}$ به صورت خط $y=1$ در دستگاه مختصات است که مجموعه ای بسته است.

همبند بودن آن هم واضح است چون این مجموعه برابر است با $\mathbb R ×\{1\}$ و می دانیم که $A× B$ همبند است اگر و تنها اگر $A, B $ همبند باشد. یا اینکه تابع $f:\mathbb R \to \mathbb R^2$ رو با ضابطه ی $x\to ( x, 1)$ در نظر بگیرید پیوسته هست و چون $\mathbb R$ همبند است لذا $f(\mathbb R)$ نیز همبند است.

مجموعه ی $im z >1$ هم برابر است با مجموعه نقاط بالای خط $y=1$ یعنی مجموعه ی $\{(x,y):y> 1\}$ که مجموعه ای باز است.

کافیه برای هر نقطه ای دقت کنید که گویی باز وجود دارد که کاملا داخل این مجموعه قرار دارد.