Question

در بسط $(1+x)^{ \frac{1}{3} } $ ضریب $ x^{4} $ را بیابید

Answer 1

از فرمول بسط دو جمله ای استفاده میکنیم:

$$(y+x)^{r}= \sum_{k=0}^ \infty {r\choose{k}} y^{r-k} x^{k} $$

در این سوال $r= \frac{1}{3} $ و $y=1$ برای ضریب $ x^{4} $ داریم $k=4$ پس ضریب آن برابر است با $${ \frac{1}{3}\choose{4}}= \frac{ \frac{1}{3} \times ( \frac{1}{3}-1) \times ( \frac{1}{3}-2) \times ( \frac{1}{3}-3)}{4!}= $$ $$ \frac{ \frac{1}{3} \times ( \frac{-2}{3}) \times ( \frac{-5}{3}) \times ( \frac{-8}{3})}{4!}=- \frac{2 \times 5 \times 8}{81 \times 2 \times 3 \times 4}= \frac{-10}{243} $$

Answer 2

من فکر مینم باید بسط تیلور در $0$ مد نظر باشد.

با این فرض قرار دهید:

$f(x)= (1+x)^{ \frac{1}{3} } $

این تابع در $x=0$ مشتقات تمام مراتبش موجود است بنابراین می توان بسط تیلور آن را نوشت:

$f(x)= \sum \frac{ f^{n}(0) }{n!} x^{n}$

که سیکما روی اعداد حسابی است.($n$ از $0$ شروع می شود).

$ f' (x)= \frac{1}{3} (1+x)^{ \frac{1}{3} -1}= \frac{1}{3} (1+x)^ \frac{-2}{3} $

$ f^{(2)}= \frac{1}{3} \times \frac{-2}{3} (1+x)^{ \frac{-2}{3} -1}= \frac{-2}{9}(1+x)^ \frac{-5}{3}$

$f^{(3)}= \frac{-2}{9} \times \frac{-5}{3} (1+x)^{ \frac{-5}{3} -1}= \frac{10}{27} (1+x)^ \frac{-8}{3} $

$ f^{(4)}=\frac{10}{27} \times \frac{-8}{3} (1+x)^{ \frac{-8}{3} -1}= \frac{-80}{81} (1+x)^ \frac{-11}{3} \Rightarrow f^{4} (0)= \frac{-80}{81} (1+0)^ \frac{-11}{3}= \frac{-8}{81}$

بنابر این ضریب $ x^{4} $ برابر است با:

$ a_{4} = \frac{ f^{(4)} (0)}{4!}= \frac{ \frac{-80}{82} }{4!}$

$ \Box $