به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
1,094 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

سلام. می خواستم درمورد "ساخت مجموعه های اندازه ناپذیر" تحقیق کنم,کتابای فولند,آلیپرانتیس,رویدن و رودین رو نگاه کردم اما همشون فقط درمورد اندازه پذیری توضیح دادنو از اندازه ناپذیری چیزی نگفتن,به کمکتون احتیاج دارم,ممنون میشم راهنماییم کنید

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اگر دنبال مثال هایی از مجموعه های اندازه ناپذیر میگردید معمولا در همه ی کتاب های آنالیزی مثال معروف ویتالی رو آوردن. برای مثال فصل اول کتاب فولند (Real Analysis-Modern techniques and their applications" فصل اول در همون ابتدا به تشریح این مثال پرداخته:

یک رابطه هم ارزی روی $\mathbb R $ به صورت زیر تعریف کنید: $$ x\sim y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb Q $$ این یک رابطه هم ارزی بوده و کلاس های هم ارزی به شکل: $$\begin{align} [x]&=\{y\in\mathbb R: x\sim y\}\\ &=\{x+r: r\in\mathbb Q\}\\ &=\mathbb Q +x\end{align}$$ می دانیم که این کلاس های هم ارزی یا با هم مساوی اند یا از هم جدا هستند یعنی: $$ \forall x,y\in\mathbb R, \quad \ \ [x]=[y]\quad or \ \ [x]\cap [y]=\emptyset $$ و همچنین کلاس های هم ارزی تشکیل یک افراز برای اعداد حقیقی می دهند: $$\bigcup_{x\in\mathbb R}[x]=\mathbb R $$ . همه ی کلاس های هم ارزی شمارا هستند در حالیکه $ \mathbb R $ ناشمارا است. لذا باید تعداد ناشمارایی از این کلاس های هم ارزی مخالف هم باشند.

حال با استفاده از اصل انتخاب یک مجموعه ی $N $ که دقیقا از انتخاب یک عضو از هر کدام از آن کلاس های هم ارزی از هم جدا تشکیل شده است وجود دارد. به عبارت دیگر ما مجموعه $ N $ را با انتخاب فقط یک عضو از هر کدام از آن کلاس های مجزا از هم انتخاب می کنیم. خوب پس $N $ این خواص رو داره:

  • $ N $ ناشمارا است.

  • $ x,y\in N \Rightarrow x\nsim y\Rightarrow x-y\notin\mathbb Q $
  • $ \{[x]:x\in N\} $ مجموعه تمام کلاس های هم ارزی مجزا است.

  • $ \bigcup_{x\in N}[x]=\bigcup_{x\in N} (\mathbb Q+x)=\mathbb R $ .

حال تعریف می کنیم: قسمت اعشاری $ x\ mod\ 1\ =x$

یعنی $y=x\ mod\ 1 $ یک عدد در بازه ی $ [0,1) $ است به طوریکه $ x=y+n $ برای یک عدد صحیح $ n $ .

حال به جای هر $x\in N $ قسمت اعشاری آن را در نظر می گیریم و مجموعه $ N $ را با مجموعه ی زیر عوض می کنیم: $$ \{ x\ mod\ 1: x\in N\} $$ . این $ N$جدید دارای خواص مشابهی مانند $ N$قبلی است. یعنی شامل یک عضو از هر کلاس هم ارزی مجزا است. و از طرفی حالا می دانیم که $N\subset[0,1) $ .

ادعا می کنیم که این $ N $ جدید اندازه پذیر نیست!

اثبات: فرض کنیم اندازه پذیر باشد. در اینصورت کارهای زیر را انجام می دهیم:

فرض کنید $ N_r $ انتقالی از $ N $ به اندازه ی $ r $ باشد و سپس از آن
$ mod\ 1$ بگیرد تا $N_r $ داخل $[0,1) $ باقی بماند:(یه شکل برای خودتون بکشید) $$ \begin{align} N_r&=(N+r)\ mod\ 1\\ &=\{x+r\ mod\ 1:x\in N\}\\ &=\big(N+r\cap[0,1)\big)\cup\big( N+r-1\cap[0,1)\big) \end{align}$$ حال مجموعه های $ N_r $ برای $$ r\in R=\mathbb Q\cap [0,1) $$ را در نظر بگیرید.

واضح است که فقط تعداد شمارایی از مجموعه های $ N_r $ با $ r\in R $ موجود است. حال داریم:

  • مجموعه های $N_r $ که $ r\in R $ مجموعه ی $ [0,1) $ را می پوشانند.(چرا؟)

  • مجموعه های $ N_r $ که $r\in R $ مجزا هستند.(چرا؟)

بنابر دو نکته بالا داریم: $$[0,1)=\bigcup_{r\in R}N_r $$ یک اجتماع شمارا از مجموعه های دو به دو مجزا! بنابراین داریم: $$ 1=m\big([0,1)\big)=m(\bigcup_{r\in R}N_r)=\sum_{r\in R}m(N_r) $$ اما از طرفی : $$m(N_r)=m(N) $$ .( چون $N_r $ فقط انتقالی از $N $ است)

بنابراین داریم: $ 1=\sum_{r\in R}m(N) $ .

اما مجموع سری در سمت راست می تواند صفر(اگر $ m(N)=0 $ ) و یا بینهایت( اگر $ m(N)>0$ )باشد. پس در هر صورت یک تناقض است. لذا باید مجموعه $ N $ اندازه پذیر نباشد.

توجه: در تمرینات اخر فصل اول کتاب فولند سوال 29 همچین تمرینی داریم:

فرض کنید $ E $ یک مجموعه لبگ اندازه پذیر باشد. اگر $ m(E)>0 $ باشد آنگاه $ E $ شامل یک مجموعه اندازه ناپذیر است.

امیدوارم این مطلب کمکتون کنه.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...