به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
851 بازدید
در دانشگاه توسط MK90
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

نشان دهید گروه دووجهی $ D_{2n} $ مانند یک گروه جایگشتی روی مجموعه $ \lbrace 1,2,...,n\rbrace $ است. (به وسیله نامگذاری رئوس یک n ضلعی منتظم)

مرجع: کتاب a course in the theory of groups تمرین 1.2 سوال 5

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein

پرسش شما بسیار ساده و بدیهی است. خود پرسش نیز راهنمایی کرده‌است. چه چیزی برایتان گنگ بوده‌است که این پرسش را پرسیده‌اید؟

گوشه‌های $n$-گوشه‌تان را یک تا $n$ شماره‌گذاری کنید. یک عضو از $D_{2n}$ چیست؟ غیر از یک تقارن یا یک دور است؟ این نگاشت‌ها هر گوشه از چندگوشه‌تان را به گوشه‌‌ای دیگر می‌نگارد. چیزی که مهم است این است که این نگاشت‌ها یک به یک و پوشا هستند (امیدوارم اثبات این را مشکل نداشته‌باشید). پس تا اینجا دریافتیم که اعضای $D_{2n}$ در $S_n$ قرار دارند. بعلاوه مجموعه‌ای تهی نیست. چرا؟ چون دور ۰ درجه یا همان نگاشت همانی را دارد. اکنون که یک زیرمجموعهٔ ناتهی از گروه $S_n$ است، می‌توانید از محک زیرگروه بودن استفاده کنید. پس باید ثابت کنید که نسبت به قرینه و ضرب گروه بسته است. اما در خود متن پرسش‌تان گروه بودن $D_n$ را فرض کرده‌اید که بسته بودن را می‌رساند. اگر در متن پرسش به جای گروه $D_{2n}$ گفته بودید مجموعهٔ $D_{2n}$ آنگاه بسته بودن را باید ثابت می‌کردید. یعنی نشان می‌دادید قرینهٔ یک دور یا تقارن عضو $D_{2n}$ دوباره یک تقارن یا دور عضو آن می‌‌شود و همین گونه ضرب دو عضو. در کل چیز سختی در این پرسش نمی‌بینم، اگر گامی هست که آن را متوجه نمی‌شوید بپرسید تا توضیح بیشتر بدهم.

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...