برای گراف $G$ مجموعه ی $X_iX_j$ ها که $v_iv_j$ مجموعه مولد مینیمال است.

Question

فرض کنید $G$ یک گراف بامجموعه رِِِئوس $v_1, ..., v_d$ باشد ثابت کنید مجموعه $X_iX_j$ به طوری که $\{v_iv_j\} \in E$ یک مجموعه مولد کاهش ناپذیر $I_G$ است . که در ان $I_G$ ایده ال یالی گراف است.

Comments

سلام
لطفا صفحه ی کتاب را بفرماید

---

صفحه76 کتابMonomial Ideals and Their Decompositions
W. Frank Moore
Mark Rogers

---

@af می‌توانستید به جای دیدگاه در بخش مرجع پرسش‌تان این دیدگاه را قرار دهید همان‌گونه که برایتان ویرایش کردم.

Answer 1

باید نشان دهیم این مجموعه مولد مینیمال است یعنی هیچ عضوی از آن توسط عناصر دیگر تولید نمیشود.

فرض کنید بتوانیم $ x_{i} x_{j} $ را حذف کنیم پس باید این عضو توسط سایر عناصر تولید شود. چون ایده آل یالی یک ایده آل تک جمله ای است پس باید وجود داشته باشد $u \in G(I_G) $ که $u \mid x_{i} x_{j} $ اما تمام مولدها از درجه ی 2 هستند لذا $ u =x_{i} x_{j} $ و حکم ثابت می شود.

در اثبات بالا از این نکته استفاده شد که اگر $I $ یک ایده آل تک جمله ای و $w \in I $، تک جمله ای باشد آنگاه وجود دارد $ u \in G(I)$ که $ u \mid w $

اثبات این نکته در کتاب مونومیال ایده آل هرزوگ هیبی فصل 1 آمده است.(در صورت لزوم بفرمایید تا اثبات را ارایه کنم.)