هر تابع یکنوا بورل اندازه پذیر است.

Question

نشان دهید هرتابع یکنوا بورل اندازه پذیر است.

Answer 1

من برای وقتی که تابع صعودیه اثبات می کنم. شما برای نزولی اثبات کنید.

پس فرض کنید $f:\mathbb R\to \mathbb R $ صعودی باشد. نشان می دهیم بورل اندازه پذیر است. برای این کار کافی است نشان دهیم مجموعه $ E=\{x: f(x)>a\} $ برای هر $ a $ دلخواه بورل اندازه پذیر است. چون $ f(x)>a $ لذا $ x>f^{-1}(a) $ .

اما توجه کنید که باید چند حالت رو در نظر بگیریم. چون ممکنه $ f^{-1}(a)$ فقط یک عدد نباشه بلکه یک مجموعه باشه پس بهتره که قرار بدیم: $ \alpha=\sup f^{-1}(a) $

در اینصورت چند حالت داریم:

1. اگر $ \alpha=\infty $ آنگاه $ E=\emptyset$
2. اگر $\alpha=-\infty $ آنگاه $E=\mathbb R $
3. اگر $ \alpha $ متناهی باشد آنگاه $ E=(\alpha, \infty) $ (چرا؟؟؟؟)

پس در هر صورت $E $ اندازه پذیر است و لذا هر تابع صعودی یک تابع بورل اندازه پذیر است.

Comments

چون ممکنه f−1(a) فقط یک عدد نباشه بلکه یک مجموعه باشه. وقتی تابع یکنواست باز هم مجموعه میشه؟

---

مثلا تابع $f:\mathbb R\to \mathbb R$ رو در نظر بگیرید که $f(x)=1$ می دونید که توابع ثابت هم صعودی هستند و هم نزولی.
ولی اگر اکیدا یکنوا بود اونوقت حرف شما درست بود.