به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,497 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

ثابت کنید که هر تابع پیوسته $f:\mathbb R\to\mathbb R $ اندازه پذیر بورل است.

توسط fardina
+1
متاسفانه سوالتون خیلی نامفهومه.
یعنی چی تابع یکنواخت؟
توسط erfanm
+1
فکرکنم منظورش تابع  پیوسته باشه.چون به راحتی ثابت میشه پیوستگی شرط کافیه و نیازی به پیوستگی یکنواخت نداره.
توسط fardina
+1
@erfanm : باشه. سوالو ویرایش کردم.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina

می دانیم که $ f:(X,\mathcal M)\to(Y,\mathcal N) $ اندازه پذیر گوییم هرگاه به ازای هر $E\in\mathcal N $ داشته باشیم $ f^{-1}(E)\in\mathcal M $ .

به راحتی می توان ثابت کرد که:

اگر سیگماجبر $\mathcal N $ توسط $ \mathcal E$ تولید شده باشد آنگاه $f:(X,\mathcal M)\to(Y,\mathcal N) $ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر برای هر $ E\in\mathcal E $ داشته باشیم $ f^{-1}(E)\in\mathcal M$ .

تابع $f:\mathbb R\to\mathbb R $ را بورل اندازه پذیر گوییم هرگاه $(\mathcal B_\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) $ اندازه پذیر باشد. یعنی $f:(\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R)\to (\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) $ اندازه پذیر باشد. اما چون سیگماجبر $\mathcal B_\mathbb R $ توسط مجموعه های باز در $\mathbb R $ تولید می شود لذا طبق نکته بالا کافی است برای هر مجموعه ی باز $U $ در $ \mathbb R $ نشان دهیم $ f^{-1}(U)\in\mathcal B_\mathbb R $ . اما چون $f $ پیوسته است لذا $f^{-1}(U) $ نیز باز بوده پس $ f^{-1}(U)\in\mathcal B_\mathbb R $ .

توسط erfanm
ویرایش شده توسط fardina
درست و کامل توضیح دادی.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...