می دانیم که $ f:(X,\mathcal M)\to(Y,\mathcal N) $ اندازه پذیر گوییم هرگاه به ازای هر $E\in\mathcal N $ داشته باشیم $ f^{-1}(E)\in\mathcal M $ .
به راحتی می توان ثابت کرد که:
اگر سیگماجبر $\mathcal N $ توسط $ \mathcal E$ تولید شده باشد آنگاه $f:(X,\mathcal M)\to(Y,\mathcal N) $ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر برای هر $ E\in\mathcal E $ داشته باشیم $ f^{-1}(E)\in\mathcal M$ .
تابع $f:\mathbb R\to\mathbb R $ را بورل اندازه پذیر گوییم هرگاه $(\mathcal B_\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) $ اندازه پذیر باشد. یعنی $f:(\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R)\to (\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) $ اندازه پذیر باشد. اما چون سیگماجبر $\mathcal B_\mathbb R $ توسط مجموعه های باز در $\mathbb R $ تولید می شود لذا طبق نکته بالا کافی است برای هر مجموعه ی باز $U $ در $ \mathbb R $ نشان دهیم $ f^{-1}(U)\in\mathcal B_\mathbb R $ . اما چون $f $ پیوسته است لذا $f^{-1}(U) $ نیز باز بوده پس $ f^{-1}(U)\in\mathcal B_\mathbb R $ .
