سیگماجبر بورل روی $\mathbb R^2$ برابر است با حاصلضرب سیگماجبر بورل روی $\mathbb R$ در خودش.

Question

گیریم $\mathbb R^2=\mathbb R\times \mathbb R$ و $\mathcal B^2$ مجموعه های برل از $\mathbb R^2$ باشد.در حالی که $\mathcal B$ مجموعه برل رو ی $\mathbb R$ است.نشان دهید که $\mathcal B^2=\mathcal B \bigotimes \mathcal B$ .لازم به ذکر است $\otimes$ ضرب تانسوری برل هاست.

Answer 1

شما میخواید ثابت کنید $\mathcal B_{\mathbb R^2}=\mathcal B_\mathbb R\otimes \mathcal B_\mathbb R$

می دانیم که $\mathcal B_\mathbb R=\sigma(\mathcal E)$ که در آن $\mathcal E$ گردایه ی تمام مجموعه های باز $\mathbb R$ است.( می توان ثابت کرد که برابر است با سیگماجبر تولید شده توسط بازه های باز یعنی $\mathcal B_\mathbb R=\sigma(\{(a, b):a, b\in \mathbb R\})$ )

بنابراین $\mathcal B_\mathbb R\otimes \mathcal B_\mathbb R=\sigma(\{A\times B: A, B\in \mathcal E\})$

اما واضح است که $\{A\times B: A, B\in \mathcal E\}\subset \mathcal B_{\mathbb R^2} $ لذا $\mathcal B_\mathbb R\otimes \mathcal B_\mathbb R=\sigma(\{A\times B: A, B\in \mathcal E\})\subset \mathcal B_{\mathbb R^2}$

اما از طرف دیگر $\mathcal B_{\mathbb R^2}$ یعنی سیگماجبر تولید شده توسط مجموعه های باز $\mathbb R^2$و چون می توان مجموعه های باز را به صورت اجتماعی از مستطیل های به صورت $(a, b)\times (c,d)$ نوشت لذا $\mathcal B_{\mathbb R^2}=\sigma(\{(a,b)\times (c,d):a,b, c,d\in \mathbb R\})$

اما $(a, b)\times (c,d)\in\{A\times B: A, B\in \mathcal E\}$ لذا $\mathcal B_{\mathbb R^2}\subset \mathcal B_\mathbb R\otimes \mathcal B_\mathbb R$ .