لطفا این دو حد رو رفع ابهام کنید با توضیحات

Question

چطور میتوان حدهای زیر را رفع ابهام کرد و حاصل را به دست آورد.

$\lim_{x\to 0} x^{ \sqrt{x} }$ $\lim_{x\to 0} x^{sin(x)} $

Answer 1

توجه :

قبل از مطالعه راه حل توجه داشته باشید که در خط سوم از قاعده هوپیتال استفاده شده است و در خط ششم از نکته زیر استفاده کرده ایم : $$lim_{x \rightarrow 0} \ (\frac{sin(x)}{x}) =1$$

حل :

$$\begin{align}Ln( lim_{x \rightarrow 0} \ x^{sin(x)})&=lim_{x \rightarrow 0} \ sin(x)Ln(x)\\ &=lim_{x \rightarrow 0}(\frac{Ln(x)}{\frac{1}{sin(x)}})\\ &=lim_{x \rightarrow 0} \ (\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-cos(x)}{sin^2(x)}})\\ &=lim_{x \rightarrow 0} \ (\frac{-sin^2(x)}{xcos(x)})\\&=lim_{x \rightarrow 0} \ (-{\frac{sin(x)}{x}})(\frac{sin(x)}{cos(x)})\\&= (-1) \times (0)\\&=0 \end{align} $$

پس : $$Ln(lim_{x \rightarrow 0} \ x^{sin(x)})= 0$$ بنابراین : $$lim_{x \rightarrow 0} \ x^{sin(x)}= e^0=1$$

حد دوم نیز مشابه همین حل می شود .

Answer 2

ثابت میشود که :

$$\lim_{x\to 0^+} x^a \ln x=0 \ \ \ :\forall \ a > 0$$

---

سوال اول

$$\lim_{x \to 0} x^{\sqrt{x}}=?$$

ابتدا تعریف میکنیم :

$$f(x):=x^{\sqrt{x}}$$

از دو طرف لگاریتم میگیریم :

$$ \ln f(x):= \sqrt{x}\ln x$$

حال با توجه به حد ذکر شده خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to 0} \sqrt{x} \ln x=0$$

بنابراین :

$$\lim_{x \to 0} x^{\sqrt{x}}=e^0=1$$

---

سوال دوم

$$\lim_{x \to 0} x^{\sin x}=?$$

ابتدا تعریف میکنیم :

$$f(x):=x^{\sin x}$$

از دو طرف لگاریتم میگیریم :

$$ \ln f(x):= \sin x\ln x$$ $$ \ln f(x):=(\dfrac{\sin x}{x})x\ln x$$

با توجه به حد ذکر شده خواهیم داشت :

$$ \lim _{x \to 0} (\dfrac{\sin x}{x})x\ln x=0$$

بنابر این :

$$\lim_{x \to 0} x^{\sin x}=e^0=1$$