برای اثبات از جبر خطی استفاده می کنیم و به خاطر طولانی بودن اثبات قسمت عمده و ساده اثبات را برعهده خوانند می گذاریم.
فرض کنید که $P(X)$ مجموعه توانی $X$ باشد.عمل دوتایی $ \oplus $ را روی $P(X)$ در نظر بگیرید:
$ \forall S,T \in P(X):S \oplus T:=(S \cup T) - (S \cap T)=(S - T) \cup (T-S)$
به راحتی نشان داده می شود که $(P(X), \oplus )$ یک گروه با عمل خنثی $ \emptyset $ است.حالا اگر $F=[0,1]$ یک میدان دو عضوی باشد (مثلن $Z_2$ یا همان زیر میدان اعدادد حقیقی) آنگاه به راحتی می توان نشان داد که:
$.:F \times (P(X), \oplus) \longrightarrow (P(X), \oplus) \wedge \forall S \in P(X):0S=0.S= \emptyset ,1S=1.S=S$
یک ضرب اسکالر در بردار است.
بنابر این $V=(P(X), \oplus )$ یک فضای برداری $n$ بعدی ($V=<[[1],[2],...,[n]]$) روی میدان $F$ است و $CardV=2^n$
حالا فرض کنید که $k$ بزرگترین عدد حسابی باشد که $F_1$ دارای $k$ بردار مستقل خطی باشد و $A$ زیرفضای تولید شده توسط این بردارها باشد و $A'$ را فضای مکمل $A$ بگیرید.($A \cap A'= [\emptyset] ,A \oplus A'=V$).
واضح است که $dim^A_F=k$ و $dim^{A'}_F=n-k$.حالا برای هر $B \in F_2$ عملگر زیر را در نظر بگیرید:
$\phi _B :V \longrightarrow F \wedge \forall S \in V: \phi (S)=f \Leftrightarrow |S \cap B| \equiv f(mod2)$
می توان نشان داد که
$ \phi _B $
خوشتعریف و خطی است و
$\phi_B|_{F_1}=0 $
و درنتیجه
$ \phi_B|_A=0$
در واقع $ \phi _B$ یک تابعک خطی روی $A'$ است. است.حالا عملگر خطی زیر را در نظر بگیرید (این را نشان دهید):
$ \varphi :A' \longrightarrow F^* \wedge \varphi (B)= \phi _B$
این عملگر یک به یک است لذا به ازای هر عضو $F_1$ یک تابعک خطی روی $A'$ موجود است و چون رتبه فضای دوگان یعنی فضای تابعک های خطی با رتبه خود فضا برابر است پس:
$|F_1| \leq dim^A_F=2^k,|F_2| \leq dim^{A'}_F=|F_2|^{n-k} \Rightarrow|F_1||F_2| \leq 2^k \times 2^{n-k}=2^n$
$ \Box $
